Analysis

626 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
7.9 Divergenz und Laplace in krummen Koordinaten*
7.9.1. Die folgenden Argumente bauen nicht auf dem Stokes’schen Integralsatz
auf, vielmehr geht es um Anwendungen des Kalküls der Differentialformen
aus 7.6.
7.9.2. Gegeben ein orientierter n-dimensionaler reeller Vektorraum V mit einem
Skalarprodukt oder allgemeiner einer nichtausgearteten symmetrischen
Bilinearform t kann man im eindimensionalen Raum Alt n (V ) aller sogenannten
Volumenformen auf V ein von Null verschiedenes Element ω = ωt, die
kanonische Volumenform, auszeichnen durch die Bedingung, daß gilt
ω(v1, . . . , vn) = 1
für jede orientierte Orthonormalbasis im positiv definiten Fall bzw. jede orientierte
Basis v1, . . . , vn mit |t(vi, vj)| = δij im allgemeinen Fall. In der Tat
erfüllt die Basiswechselmatrix A zwischen zwei derartigen Basen eine Gleichung
der Gestalt A ⊤ JA = J ′ mit J = J ′ = I der Einheitsmatrix im Fall
eines Skalarprodukts und det J = det J ′ = 0 im allgemeinen, so daß der Multiplikationssatz
für Determinanten det A = ±1 liefert, und die Orientiertheit
beider Basen zeigt dann sogar det A = 1. Damit aber folgt
ω(v1, . . . , vn) = ω(w1, . . . , wn)
für jede n-Form ω und je zwei Basen wie oben, etwa indem wir 7.1.15 auf
den Automorphismus von V mit vi ↦→ wi anwenden.
Übung 7.9.3. Ersetzen wir t durch λt für λ ∈ R × , so erhalten wir für die neue
Volumenform
ωλt = |λ| n/2 ωt
Definition 7.9.4. Gegeben ein orientierter n-dimensionaler reeller Vektorraum
V mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform t erklärt
man für jede Zerlegung n = p + q den Hodge-∗-Operator, einen Isomorphismus
∗ = ∗t : Alt p V ∼ → Alt q V
auszeichnen durch die Formel α∧β = t(∗α, β)ω. Hier ist t rechts zu verstehen
als t(f1 ∧ . . . ∧ fr, g1 ∧ . . . ∧ gr) := det(t(fi, gj)) und letztere Bilinearform auf
V ∗ ist dadurch erklärt, daß sie unter cant : V ∼ → V ∗ unserem ursprünglichen
t entsprechen soll. Das ω schließlich meint unsere Volumenform. Etwas
ausführlicher gesagt konstruiert man unseren Hodge-∗-Operator wie folgt:
Man geht aus von der durch das Dachprodukt gegebenen nichtausgearteten
Paarung
Alt p V × Alt q V → Alt n V