Analysis

988 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
w = s1 . . . sr und L eine Spiegelebene von W , die A und wA trennt, es notwendig
ein i gibt mit L = s1 . . . si−1 Hi und folglich sLs1 . . . sr = s1 . . . ˆsi . . . sr. Ist
unsere Darstellung von w reduziert, in Formeln r = l(w), so sind immer nach
dem Beweis von 7.3.13 die s1 . . . si−1 Hi sogar genau die r Spiegelebenen, die
A und wA trennen.
Proposition 7.3.19. Seien A, B Alkoven und L eine Spiegelebene zu einer
affinen Spiegelungsgruppe. Genau dann trennt L unsere beiden Alkoven, wenn
A und sLB durch weniger Spiegelebenen getrennt werden als A und B. In
Formeln gilt also
(L trennt A und B) ⇔ d(A, sLB) < d(A, B)
Beweis. Es reicht ⇒ zu zeigen, die andere Implikation folgt dann durch Anwenden
der einen Implikation auf sLB statt auf B. Wir finden Spiegelungen
s1, . . . , sr an Wänden von A mit r = d(A, B) und B = s1 . . . srA. Da L
unsere beiden Alkoven trennt, gibt es nach der vorhergehenden Bemerkung
7.3.18 einen Index i mit sLs1 . . . sr = s1 . . . ˆsi . . . sr. Damit folgt wie gewünscht
d(A, sLB) < r.
Satz 7.3.20 (Austauschlemma). Seien W eine affine Spiegelungsgruppe,
A ein Alkoven, S die Menge der Spiegelungen an Wänden von A und l = lA
die zugehörige Länge. Seien weiter s1, . . . , sr ∈ S. Ist t eine Spiegelung aus
W mit l(ts1 . . . sr) < l(s1 . . . sr), so gibt es einen Index i ∈ [1, r], für den gilt
ts1 . . . si . . . sr = s1 . . . ˆsi . . . sr
7.3.21. Die letzte Gleichung kann auch umgeschrieben werden zur Gleichung
s1 . . . si . . . sr = ts1 . . . ˆsi . . . sr. Wir können also in Worten die einfache Spiegelung
si in der Mitte austauschen gegen die Spiegelung t ganz vorne ohne das
Produkt zu ändern, wenn (und im Fall einer reduzierten Darstellung genau
dann, wenn) die Multiplikation mit t die Länge verkleinert.
Beweis. Sei t = sL und B = s1s2 . . . srA. Aus der Annahme folgt mit 7.3.19,
daß die Spiegelebene L die Alkoven A und s1 . . . srA trennt. Daraus folgt
dann mit 7.3.18 sofort ts1 . . . sr = s1 . . . ˆsi . . . sr.
Übung 7.3.22. Sei W eine endliche Spiegelungsgruppe, A ein fester Alkoven
und l = lA die zugehörige Länge. So gibt es in W genau ein Element wA
maximaler Länge, und diese Länge ist die Zahl der Spiegelungen in W .
Übung 7.3.23. Jede nichtreduzierte Darstellung eines Elements einer affinen
Spiegelungsgruppe in Bezug auf einen festen Alkoven kann durch Streichen
von Faktoren zu einer reduzierten Darstellung desselben Elements gemacht
werden.