Analysis

968 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Dasselbe gilt auch allgemeiner, wenn wir über einem beliebigen Körper einer
von Zwei verschiedenen Charakteristik arbeiten und ( , ) eine unter sα,α ∨
invariante symmetrische Bilinearform ist mit der Eigenschaft (α, α) = 0.
Definition 7.1.4. Eine endliche Spiegelungsgruppe ist eine endliche
Gruppe von Automorphismen eines Vektorraums über einem angeordneten
Körper, die von Spiegelungen erzeugt wird.
Lemma 7.1.5. Gegeben eine endliche Gruppe von Automorphismen eines
Vektorraums über einem angeordneten Körper gibt es auf unserem Vektorraum
stets ein unter dieser Gruppe invariantes Skalarprodukt.
Beweis. Sei k unser angeordneter Körper und V unser Vektorraum und G
unsere endliche Gruppe von Automorphismen von V . Sei b : V × V → k
irgendein Skalarprodukt. Wir erhalten ein G-invariantes Skalarprodukt durch
die Vorschrift i(v, w) =
g∈G b(gv, gw).
Lemma 7.1.6. Haben zwei Spiegelungen einer endlichen Spiegelungsgruppe
dieselbe Spiegelebene, so stimmen sie überein.
Beweis. Sei V ein Vektorraum über einem angeordneten Körper und W ⊂
GL(V ) unsere endliche Spiegelungsgruppe. Seien s, t ∈ W zwei Spiegelungen
und H = V s = V t die gemeinsame Spiegelebene. Nach 7.1.5 gibt es ein W -
invariantes Skalarprodukt auf V . Für jedes W -invariante Skalarprodukt auf
V gilt dann V = H ⊕ H ⊥ , und sowohl s als auch t operieren als die Identität
auf H und als −1 auf H ⊥ .
Übung 7.1.7. Man zeige, daß die transponierte Abbildung zu einer Spiegelung
s = sα,α ∨ : V → V die Spiegelung s⊤ = sα ∨ ,α : V ∗ → V ∗ ist, wobei wir in der
zweiten Identität unter α das durch Auswerten an α definierte Element des
Bidualraums V ∗∗ verstehen.
Definition 7.1.8. Unter einem euklidischen Vektorraum verstehen wir
hier und im Folgenden stets einen Vektorraum über einem angeordneten Körper,
der mit einem Skalarprodukt versehen ist. Unter einer orthogonalen
Spiegelung oder noch präziser einer orthogonalen linearen Spiegelung
verstehen wir eine Spiegelung auf einem euklidischen Vektorraum, die das
Skalarprodukt erhält. Eine orthogonale Spiegelung in einem euklidischen Vektorraum
wird natürlich durch ihre Spiegelebene bereits eindeutig festgelegt.
Unter einer endlichen euklidischen Spiegelungsgruppe verstehen wir
eine endliche Gruppe von orthogonalen Automorphismen eines euklidischen
Vektorraums, die von Spiegelungen erzeugt wird.