Analysis

244 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Übung 6.5.16. Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist offen genau
dann, wenn sie für jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
Übung 6.5.17. Sei X ein topologischer Raum und U ⊂◦ X eine offene Teilmenge.
So ist eine Teilmenge M ⊂ U offen in U genau dann, wenn sie offen ist in
X. In Formeln gilt unter der Voraussetzung U ⊂◦ X für Teilmengen M ⊂ U
also (M ⊂◦ U ⇔ M ⊂◦ X).
Satz 6.5.18 (Stetigkeit und Urbilder offener Mengen). Eine Abbildung
zwischen topologischen Räumen ist stetig genau dann, wenn darunter das
Urbild jeder offenen Menge offen ist.
6.5.19. Insbesondere gilt das auch für einen Abbildung zwischen metrischen
Räumen.
Beweis. Sei f : X → Y stetig an jeder Stelle p ∈ X. Gegeben U ⊂◦ Y offen
ist ja U Umgebung eines jeden seiner Punkte. Folglich gibt es für jede Stelle
p ∈ f −1 (U) eine Umgebung U ′ p mit f(U ′ p) ⊂ U. Diese U ′ p können sogar offen
gewählt werden, und damit ist f −1 (U) offen als die Vereinigung aller U ′ p mit
p ∈ f −1 (U). Ist umgekehrt p ∈ X gegeben, so gibt es für jede Umgebung
U von f(p) eine offene, in U enthaltene Umgebung V von f(p), und ist das
Urbild jeder offenen Menge offen und U ′ = f −1 (V ) ist eine Umgebung von p
mit f(U ′ ) ⊂ U. Ist also das Urbild jeder offenen Menge offen, so ist unsere
Abbildung auch stetig an jeder Stelle p.
Ergänzung 6.5.20. Entwickelt man die Theorie der topologischen Räume ab
initio, so wird man in der Regel die im vorhergehenden Satz enthaltene Charakterisierung
wegen ihrer großen Eleganz gleich als Definition der Stetigkeit
nehmen. Daß die Verknüpfung stetiger Abbildungen stetig ist, kann man von
dieser Definition ausgehend sehr leicht und direkt einsehen, indem man beachtet,
daß aus f : X → Y und g : Y → Z stetig folgt V ⊂◦ Z ⇒ g −1 (V )⊂◦ Y ⇒
f −1 (g −1 (V )) ⊂◦ X. Da nun gilt f −1 (g −1 (V )) = (g ◦ f) −1 (V ), ist damit auch
(g ◦ f) stetig.
Übung 6.5.21 (Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie). Sei
f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen und Z ⊂ Y eine
Teilmenge mit f(X) ⊂ Z. So ist f stetig genau dann, wenn die induzierte
Abbildung f : X → Z stetig ist für die auf Z induzierte Topologie. Analoges
gilt für Stetigkeit in einem Punkt.
Beispiele 6.5.22. Es gibt auch Topologien, die unserer bis hierher entwickelten
Anschauung eher ungewohnt sein mögen: Auf jeder Menge können wir etwa
etwa die Klumpentopologie betrachten, die nur aus der ganzen Menge
und der leeren Menge besteht, oder die diskrete Topologie, indem wir