Analysis

1132 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Ist N ⊂ G das unipotente Radikal der bezüglich T zu B opponierten
Borel’schen, so liefert die Multiplikation eine offene Einbettung N × B ↩→ G
mit dichtem Bild. Nach ?? liefert folglich die kanonische Abbildung eine
Inklusion
ind G
B Cλ ↩→ ind N
1 Cλ
Gehen wir zu C ∞ -Vektoren über, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm
C ∞ (ind G
B Cλ) ↩→ C ∞ (ind N
1 Cλ)
↓ ↓
∼
→ ind n
ind g
b Cλ
0 Cλ
in dem die untere Horizontale ein Isomorphismus ist nach dem Satz von
Poincaré-Birkhoff-Witt ??. Schränken wir uns in der oberen Zeile ein auf
die skalar analytischen Vektoren, so wird nach dem im Anschkuß bewiesenen
Lemma 13.4.5 die rechte Vertikale eine Injektion, und aus dem Diagramm
folgt dasselbe für die linke Vertikale. Da die K-endlichen Vektoren in zulässigen
Darstellungen skalar analytisch sind, erhalten wir also eine Injektion
(ind G
B Cλ)K ↩→ ind g
b Cλ
und müssen nur noch zeigen, daß die Dimensionen der Homk(E, ) für alle E ∈
ˆK auf beiden Seiten übereinstimmen. Aber diese Dimension ist ja dieselbe
wie die von Homk(E, ind k
k∩t Cλ) = Homt∩k(E, Cλ) und die Behauptung folgt
damit aus der Tatsache, daß T ∩ K zusammenhängend ist.
Lemma 13.4.5. Sei N eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra
n. So induziert die kanonische Abbildung
C ∞ (ind N
1 C) → ind n
0 C
eine Inklusion auf den skalar analytischen Vektoren. (Sollte sehr viel allgemeiner
machen, so daß es direkt klar wird für ind G
B .)
Beweis. Sortieren wir die Definitionen aus, so ist unsere Abbildung schlicht
die Abbildung C ∞ (N) → (U(n)) ∗ , die von der Paarung U(n) × C ∞ (N) → C
herkommt, die durch das Anwenden eines Differentialoperators gefolgt vom
Auswerten beim neutralen Element erklärt wird. Unser Lemma folgt dann aus
der Tatsache, daß eine analytische Funktion auf einer zusammenhängenden
analytischen Varietät schon durch ihre Taylorreihe in einem einzigen Punkt
festgelegt wird.
Bis hierher waren noch alle Lie-Algebren reell, ihre Darstellungen jedoch
reell-lineare Darstellungen in komplexen Vektorräumen.