Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1079
Lemma 11.3.8. Gegeben ein topologische Räume T, Y, Z über einem topologischen
Raum X liefert die offensichtliche Abbildung einen Homöomorphismus
CX(T, Y ×X Z) ∼ → CX(T, Y ) × CX(T, Z)
Ergänzung 11.3.9. Gegeben ein topologischer Raum T über einem topologischen
Raum X ist in kategorieller Terminologie ausgedrückt sogar stärker
der Funktor CX(T, ) : Top X → Top verträglich mit beliebigen Produkten.
Beweis. Das folgt sofort aus 11.2.6 durch Übergang zu geeigneten Teilräumen
mit ihren induzierten Topologien.
Proposition 11.3.10. Gegeben ein topologisches Vektorraumbündel E → X
ist der Raum der Schnitte S(E) := CX(X, E) mit der punktweisen Addition
und Multiplikation mit Skalaren ein topologischer Vektorraum.
11.3.11. Hier fassen wir implizit X mit seiner durch die Identität gegebenen
Struktur als topologischen Raum über sich selber auf.
Beweis. Das folgt sofort aus dem vorhergehenden Lemma 11.3.8 und der
Tatsache, daß im Fall topologischer Vektorbündel auf X die Addition offensichtlich
eine stetige Abbildung E ×X E → E über X liefert.
Definition 11.3.12. Sei G eine topologische Gruppe und X ein G-Raum.
Unter einem G-äquivarianten topologischen Vektorraum über X verstehen
wir einen topologischen Vektorraum E über X mitsamt einer stetigen
Operation von G auf E derart, daß die Projektion E ↠ X eine Gäquivariante
Abbildung ist und die Operation von G auf jeder Faser linear.
Satz 11.3.13 (Darstellungen auf Schnitten äquivarianter Bündel).
Gegeben G X eine stetige Operation einer topologischen Gruppe auf einem
lokal kompakten Raum X und G E ein G-äquivarianter topologischer
Vektorraum über X ist der Raum S = S(E) der stetigen Schnitte in E eine
stetige Darstellung von G unter der Operation durch Konjugation.
Beweis. Die Operation wird in Formeln gegeben durch (gs)(x) := g(s(g −1 x))
für alle g ∈ G, x ∈ X und alle stetigen Schnitte s : X → E. Das einzige
Problem ist der Nachweis der Stetigkeit von G × S → S oder, nach 11.2.13
gleichbedeutend, der Stetigkeit der Abbildung G × S × X → E, (g, s, x) ↦→
g(s(g −1 x)). Diese folgt jedoch aus der Stetigkeit des Auswertens S × X → E
mit Standardargumenten.