Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1307
Beweis. Nicht ganz vollständig. Gegeben ein Martingal (Xn, Fn) erfüllt sein
positiver Teil X + n die Abschätzung
E(X + n+1|Fn) ≥ X + n
In der Tat reicht es dazu nach ?? zu zeigen, daß für alle A ∈ Fn gilt
A X+
n+1 ≥
A X+ n , und das erkennen wir, indem wir A zerlegen in einen Teil mit X + n =
Xn und einen Teil mit X + n = 0. Jetzt betrachten wir die Mengenalgebra Fn
und darauf die Funktion
µ +
: A ↦→ lim X
n→∞
A
+ n
Dieser Grenzwert existiert, da unsere Folge ab dem n mit A ∈ Fn wie gerade
gezeigt monoton wächst, und er ist endlich, da die X + n gleichgradig integrierbar
sind. Ich behaupte, daß µ + ein Prämaß auf Fn ist. Gegeben eine
disjunkte Zerlegung in eine Folge A = A0 ∪ A1 ∪ . . . müssen wir dazu zeigen
µ + (A) = µ + (Ai)
Für die Ungleichung ≥ reicht es zu zeigen, daß µ + (A) eine obere Schranke
für alle endlichen Teilsummen ist, und das scheint mir offensichtlich. Für die
Ungleichung ≤ reicht es, wenn wir für alle ε > 0 die Abschätzung
µ + (A) ≤ ε +
gε =
A
∞
µ + (Ai)
zeigen. Dazu verwenden wir die gleichgradige Integrierbarkeit der X + n und
wählen zunächst eine integrierbare Funktion gε ≥ 0 mit X + n ≤ gε + rn für
geeignetes rn mit rn1 ≤ ε. Nach dem Satz über monotone Konvergenz
haben wir ∞
i=0
und es gibt folglich ein n mit ∞
i=n+1 Ai gε ≤ ε alias
A>n gε ≤ ε für die
Vereinigung A>n = An+1 ∪ An+2 ∪ . . . Damit finden wir µ + (A>n) ≤ 2ε und
µ + (A) ≤ µ + (A0) + . . . + µ + (An) + 2ε und das zeigt die andere Abschätzung,
zwar nur mit 2ε statt mit ε, aber darauf kommt es nicht an. Der Maßerweiterungssatz
von Caratheodory IV.6.2.10 liefert uns eine Fortsetzung von µ +
zu einem Maß µ + auf der von Fn erzeugten σ-Algebra F∞. Wir zeigen als
nächstes, daß es stetig ist zum Wahrscheinlichkeitsmaß P. Gegeben A ∈ F∞
mit P (A) = 0 zeigen wir dazu µ + (A) < ε für alle ε > 0. Gegeben ε > 0 finden
wir ja zunächst gε wie in der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit.
i=0
Ai
gε