Analysis

670 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Beweis. Nach der Inversionsformel für Funktionen aus dem Schwartzraum
wissen wir ja bereits, daß F ⊤ ◦F ⊤ : S ∗ → S ∗ die transponierte Abbildung zur
von der Punktspiegelung am Ursprung auf dem Schwartzraum induzierten
Abbildung ist. Natürlich ist unsere Einbettung L 1 ↩→ S ∗ verträglich mit
den von der Punktspiegelung am Ursprung auf beiden Räumen induzierten
Abbildungen. Die Proposition folgt nun leicht aus 2.1.30.
Ergänzung 2.1.34. Bezeichne im folgenden λ das Lebesguemaß auf dem R n .
Motiviert durch die vorhergehenden Überlegungen definiert man den Raum
S ′ ⊂ S ∗
aller temperierten Distributionen als den kleinsten Untervektorraum des
vollen Dualraums S ∗ des Raums der Schwartzfunktionen, der (1) alle Linearformen
umfaßt, die die Gestalt ϕ ↦→ fϕλ haben für f : R n → C stetig von
höchstens polynomialem Wachstum, und der (2) stabil ist unter den Transponierten
∂ ⊤ ν : S ∗ → S ∗ der partiellen Ableitungen ∂ν : S → S. Man überlegt
sich ohne große Schwierigkeiten, daß die Transponierte der Fouriertransformation
F ⊤ : S ∗ ∼ → S ∗ einen Vektorraumisomorphismus
F ⊤ : S ′ ∼ → S ′
auf den temperierten Distributionen induziert, und daß sich alle L p -Funktionen
f als temperierte Distributionen auffassen lassen, ja daß das Bild unserer
Einbettng int : L 1 S(R n ) ↩→ S ∗ aus 2.1.29 gegeben durch die Vorschrift
ϕ ↦→ fϕλ aus temperierten Distributionen besteht, in Formeln
L p ⊂ L 1 S(R n ) ⊂ S ′ . Darüberhinaus lassen sich auch alle endlichen Borelmaße
µ als die temperierte Distributionen auffassen vermittels der immergleichen
Vorschrift ϕ ↦→ ϕµ, und alle bisher betrachteten Varianten der Fouriertransformation
sowie auch die noch ausstehende Variante für komplexe Maße
können als Einschränkung unserer Transformation F ⊤ : S ′ ∼ → S ′ verstanden
werden. Welche Vorteile die temperierten Distributionen gegenüber allgemeinen
Linearformen auf dem Schwartzraum bieten, und wie allgemeiner beliebige,
nicht notwendig temperierte Distributionen erklärt werden, mögen Sie
in Vorlesungen zur Funktionalanalysis lernen.
Satz 2.1.35 (Poisson’sche Summationsformel). Ist f : R → C eine
Funktion aus dem Schwartzraum und f ∧ (y) = f(y) e −2π i xy dx ihre wie angegeben
normalisierte Fouriertransformierte, so gilt
f(n) =
f ∧ (n)
n∈Z
n∈Z