Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 77
3.4.8. Die Frage, wie das Produkt zweier negativer Zahlen zu bilden sei, war
lange umstritten. Mir scheint der vorhergehende Beweis das überzeugendste
Argument für “Minus mal Minus gibt Plus”: Es sagt salopp gesprochen, daß
man diese Regel adoptieren muß, wenn man beim Rechnen das Ausklammern
ohne alle Einschränkungen erlauben will.
3.4.9. Den Begriff eines Homomorphismus verwendet man bei Mengen mit
mehr als einer Verknüpfung analog. Zum Beispiel ist ein Körperhomomorphismus
ϕ von einem Körper K in einen Körper L definiert als eine Abbildung
ϕ : K → L derart, daß gilt ϕ(a+b) = ϕ(a)+ϕ(b) und ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
für alle a, b ∈ K und ϕ(1) = 1. Die Bedingung ϕ(1) = 1 ist nur nötig, um
den Fall der Nullabbildung auszuschließen. In anderen Worten mag man einen
Körperhomomorphismus auch definieren als eine Abbildung, die sowohl für
die Addition als auch für die Multiplikation ein Monoidhomomorphismus ist.
Unter einem Körperisomorphismus verstehen wir wieder einen bijektiven
Körperhomomorphismus.
3.4.10. Den Begriff eines Homomorphismus verwendet man auch im Fall von
Mengen mit gar keiner Verknüpfung: Unter einem Homomorphismus von
Mengen versteht man schlicht eine Abbildung, unter einem Isomorphismus
von Mengen eine Bijektion.
Übung 3.4.11. Ist K ein Körper derart, daß es kein x ∈ K gibt mit x 2 = −1,
so kann man die Menge K × K = K 2 zu einem Körper machen, indem man
die Addition und Multiplikation definiert durch
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Die Abbildung K → K 2 , a ↦→ (a, 0) ist dann ein Körperhomomorphismus.
Kürzen wir (a, 0) mit a ab und setzen (0, 1) = i, so gilt i 2 = −1 und (a, b) =
a + b i und die Abbildung a + b i ↦→ a − b i ist ein Körperisomorphismus
K 2 ∼ → K 2 .
3.4.12. Auf die in der vorhergehenden Übung 3.4.11 erklärte Weise können
wir etwa aus dem Körper K = R der “reellen Zahlen”, sobald wir ihn kennengelernt
haben, direkt den Körper C der komplexen Zahlen konstruieren.
Unser Körperisomorphismus gegeben durch die Vorschrift a + b i ↦→ a − b i
heißt in diesem Fall die komplexe Konjugation und wird auch z ↦→ ¯z notiert.
Man beachte, wie mühelos das alles in der Sprache der Mengenlehre zu
machen ist. Als die komplexen Zahlen erfunden wurden, gab es noch keine
Mengenlehre und beim Rechnen beschränkte man sich auf das Rechnen mit
“reellen” Zahlen, ja selbst das Multiplizieren zweier negativer Zahlen wurde
als eine fragwürdige Operation angesehen, und das Ziehen einer Quadratwurzel
aus einer negativen Zahl als eine rein imaginäre Operation. In gewisser