Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 725
Proposition 3.4.14 (Spektraler Abbildungssatz). Ist T selbstadjungiert
und f : σ(T ) → C stetig, so hat f(T ) das Spektrum
σ(f(T )) = f(σ(T ))
Beweis. Gehört λ ∈ C nicht zum Bild von f, so ist f − λ invertierbar in
C(σ(T )) und damit f(T ) − λ id invertierbar in B(H) und wir haben λ ∈
σ(f(T )). Das zeigt von der behaupteten Gleichheit die Inklusion ⊂ . Gehört
λ ∈ C zum Bild von f, sagen wir λ = f(x) für x ∈ σ(T ), so ist f der
gleichmäßige Grenzwert einer Folge P0, P1, . . . von Polynomen mit Pn(x) = λ.
Also ist Pn(T ) − λ id nicht invertierbar für alle n und damit auch f(T ) − λ id
nicht invertierbar nach 3.3.14. Das zeigt die andere Inklusion ⊃ .
Beweis von 3.2.14. Gegeben ein Vektor v ∈ H betrachten wir die C-lineare
Abbildung
Cc(R) → C
f ↦→ 〈v, f(T )v〉
Um den Riesz’schen Darstellungssatz 3.5.2 anwenden zu können, gilt es zu
zeigen, daß unter dieser Abbildung nichtnegative reelle Funktionen nichtnegative
reelle Zahlen liefern. Das ist aber klar, da jede nichtnegative reelle
Funktion ein Quadrat ist, so daß wir haben 〈v, f(T )v〉 = √ f(T )v 2 . Es gibt
nach dem Riesz’schen Darstellungssatz 3.5.2 also ein und sogar genau ein
Borelmaß µ auf R mit
f(t) µ〈t〉 = 〈v, f(T )v〉
für alle stetigen f : R → C mit kompaktem Träger. Für dieses Maß µ hat die
Abbildung
ϕ : Cc(R) → H
f ↦→ f(T )v
dann die Eigenschaft ϕ(f) 2 = |f| 2 µ. Damit faktorisiert sie erstens über
das Bild der offensichtlichen Abbildung Cc(R) → L 2 (R; µ) und läßt sich nach
1.4.12 zweitens von diesem Bild zu einer unitären Einbettung ϕ : L 2 (R; µ) ↩→
H erweitern und wir haben ein mögliches Paar (µ, ϕ) gefunden. Um zu sehen,
daß es auch das einzig mögliche Paar ist, müssen wir nur im Beweis einige
Schritte rückwärts gehen: Gegeben ein Paar (µ, ϕ) haben wir ja für jedes Polynom
P ∈ C[X] offensichtlich ϕ(P ) = P (T )v und folglich P µ = 〈v, P (T )v〉.
Ein kompakt getragenes Borelmaß auf R wird jedoch nach dem Riesz’schen
Darstellungssatz 3.5.2 und dem Approximationssatz von Weierstraß III.3.2.9
durch die Kenntnis der Integrale aller Polynome nach diesem Maß bereits
eindeutig festgelegt.