Analysis

3. STETIGKEIT 151
Satz 3.2.8 (über die Umkehrfunktion). Ist I ⊂ R ein Intervall und
f : I → R streng monoton und stetig, so ist auch f(I) ⊂ R ein Intervall und
die Umkehrfunktion f −1 : f(I) → R ist streng monoton und stetig.
Beweis. Dieser Satz ist nur die Zusammenfassung des abstrakten Zwischenwertsatzes
3.2.7 mit der Proposition 3.2.2 über die Stetigkeit der Umkehrfunktion.
Definition 3.2.9. Für q ∈ N, q ≥ 1 definieren wir die q-te Wurzel
√
q : [0, ∞) → R
als die Umkehrfunktion zur q-ten Potenzfunktion x ↦→ x q . Nach 3.2.2 ist
x ↦→ q√ x stetig.
Ergänzende Übung 3.2.10. Sei ak eine Reihe. Man zeige das Wurzelkriterium:
Gilt limk→∞ k |ak| < 1, so konvergiert die Reihe ak absolut. Hinweis:
Analog zum Beweis des Quotientenkriteriums. Meiner Erfahrung nach
ist dies Kriterium in der Praxis selten von Nutzen, da es meist auf schwer zu
bestimmende Grenzwerte führt.
Definition 3.2.11. Aus dem Zwischenwertsatz folgt exp(R) = (0, ∞), denn
wir haben offensichtlich limn→∞ exp(n) = ∞ und damit limn→−∞ exp(n) = 0
nach 2.1.29. Wir können also den (natürlichen) Logarithmus einführen
als die Umkehrfunktion
log : (0, ∞) → R
der Exponentialfunktion, log(exp(x)) = x, und erhalten aus Satz 3.2.8 die
Stetigkeit des Logarithmus. In der französischen Literatur bezeichnet man
diese Funktion auch als logarithme népérien in Erinnerung an den schottischen
Mathematiker John Napier, der die ersten Logarithmentafeln aufstellte.
3.2.12. Die Exponentialfunktion liefert nach 2.6.8 und 3.2.11 einen Isomomorphismus
zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen
Gruppe aller positiven reellen Zahlen. Daraus folgt sofort
log(xy) = log x + log y und log(e) = 1
Übung 3.2.13. Man folgere log(1) = 0, log(x −1 ) = − log(x), log(x n ) =
n log(x) und log( q√ x) = 1
q log(x).