Analysis

2. MEHRFACHE INTEGRALE UND ABLEITUNGEN 373
c = c0 ≤ c1 ≤ . . . ≤ cr = d
der Kanten unseres Rechtecks, erhalten eine Unterteilung unseres Rechtecks
in r 2 kleine Rechtecke Qi,j = [ai, ai+1]×[cj, cj+1] mit Flächeninhalt (vol Q)/r 2 ,
und setzen
S r (f) =
r−1
i,j=0
vol Q
f(ai, cj)
r2 = vol Q
r−1
i,j=0
f(ai, cj)
Proposition 2.1.6. It Q ⊂ R 2 ein Rechteck und f : Q → R eine stetige
Funktion, so ist das Integral von f über Q der Grenzwert unserer Riemannsummen,
in Formeln
f = lim S
Q
r→∞ r (f)
Beweis. Wir definieren Unter- und Obersummen durch
S r (f) =
r−1
i,j=0
inf f(Qi,j)
vol Q
r 2 und ¯ S r (f) =
r−1
i,j=0
sup f(Qi,j)
vol Q
r 2
Bei den Untersummen lassen wir etwa auf unseren kleinen Quadern Qi,j
Türmchen hochwachsen, bis sie am Graphen unserer Funktion anstoßen, und
bilden die Summe der Volumina aller dieser Türmchen, und bei der Obersumme
nehmen wir entsprechend die kleinstmöglichen Türmchen, aus denen
unsere Funktion nicht mehr oben herausguckt. Nun behaupten wir die Ungleichungen
S r (f) ≤ S r (f) ≤ ¯ S r (f)
S r
(f) ≤ f ≤ ¯ S r (f)
Q
Die Ungleichungen der ersten Zeile sind offensichtlich. Um die Ungleichungen
der zweiten Zeile einzusehen, benutzen wir zunächst die Regeln für Integrale
einer Veränderlichen und erkennen
inf f(Qi,j)
vol Q
r 2
≤
Qi,j
f ≤ sup f(Qi,j)
vol Q
r 2
Aus unseren Regeln für Integrale einer Veränderlichen folgt zusätzlich auch
noch
f = Q i,j f. Summieren wir dann alle unsere Ungleichungen für
Qi,j
0 ≤ i, j ≤ r−1, so ergibt sich die zweite Zeile oben. Für alle ε > 0 gibt es nun
wegen der gleichmäßigen Stetigkeit unserer Funktion auf unserem kompakten
Rechteck ein δ = δε > 0 mit
|(x1, y1) − (x, y)| < δ ⇒ |f(x1, y1) − f(x, y)| < ε