Analysis

374 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Ist R = Rε so groß, daß alle Kantenlängen unserer kleinen Rechtecke Qi,j bei
äquidistanter Unterteilung in R Stücke unter δ sinken, so folgt aus r ≥ R also
| ¯ Sr (f)−S r (f)| < (vol Q)ε und mit unseren beiden Zeilen von Ungleichungen
ergibt sich |
Q f − Sr (f)| < (vol Q)ε. Das zeigt
Q f = limr→∞ Sr (f) wie im
Satz behauptet.
Korollar 2.1.7 (Vertauschen partieller Integrationen). Gegeben ein
Rechteck Q = [a, b] × [c, d] ⊂ R 2 und f : Q → R stetig gilt
d b
c
a
f(x, y) dx dy =
b d
a
c
f(x, y) dy dx
Beweis. Beide Seiten sind der Grenzwert limr→∞ S r (f) derselben Folge von
Riemannsummen.
2.1.8.
Den gemeinsamen Wert dieses Integrals notieren wir dann kürzer auch
f(x, y) d(x, y) und benutzen analoge Notationen im Fall von noch mehr
Q
Veränderlichen. Steht dahingegen x für eine Veränderliche des Rk , so benutzen
wir die Notation f(x) dkx. 2.1.9. Da das Differenzieren so in etwa der inverse Prozess zum Integrieren ist,
müssen mit den partiellen Integralen auch die partiellen Ableitungen sowie
partielle Ableitung und partielles Integral vertauschen. Diese Idee wird im
Folgenden ausgeführt.
Korollar 2.1.10 (Vertauschen partieller Ableitungen). Sei U ⊂◦ R2 eine
offene Teilmenge und f : U → R eine Funktion. Existiert die gemischte
partielle Ableitung ∂
∂f
auf U und ist dort stetig und existiert darüber
∂y ∂x
hinaus auch die partielle Ableitung ∂f
auf U, so existiert sogar die umgekehrte
∂y
gemischte partielle Ableitung ∂ ∂f
( ) auf U und es gilt
∂x ∂y
∂
∂x
∂f
=
∂y
∂
∂y
∂f
∂x
2.1.11. Eine anschauliche Interpretation dieses Korollars wird der Satz über
die Taylorentwicklung 2.2.1 geben: Geeignet differenzierbare reelle Funktionen
von zwei Variablen besitzen eben lokal an jeder Stelle eine “beste” Approximation
durch ein Polynom vom Grad höchstens zwei, also durch eine
Funktion der Form f(p + h, q + k) ∼ α + βh + γk + δh 2 + κk 2 + τhk, und die
gemischte partielle Ableitung unserer Funktion an besagter Stelle ist dann
genau der Koeffizient τ des “gemischten Terms”.