Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1121
Satz 13.1.11 (Differential und partielle Ableitungen). Sei U ⊂◦ Rn eine offene Teilmenge und f : U → V eine Abbildung in einen lokal konvexen
Hausdorff’schen topologischen Vektorraum. Existieren alle partiellen
Ableitungen ∂f
auf ganz U und sind stetig als Funktionen U → V, so ist f
∂xi
differenzierbar an jeder Stelle p ∈ U mit Differential
∂f
dpf = (p), . . . ,
∂x1
∂f
(p) : R
∂xn
n → V
Bemerkung 13.1.12. Die lokale Konvexität erlaubt es hier, ganz genauso wie
im als IV.1.5.1 behandelten Fall von Funktionen mit Werten in normierten
Vektorräumen mit dem Mittelwertsatz 13.1.10 zu argumentieren.
Definition 13.1.13. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und V ein
Hausdorff’scher topologischer Vektorraum. Wir definieren induktiv, welche
Abbildungen f : M → V wir als Abbildungen von der Klasse C k bezeichnen:
Für k = 0 sollen es genau die stetigen Abbildungen sein und für k ≥ 1
genau alle differenzierbaren Abbildungen, deren Differential df : TM → V
von der Klasse C k−1 ist. Ist eine Abbildung von der Klasse C k für alle k, so
nennen wir sie eine C ∞ -Abbildung oder auch eine glatte Abbildung.
Lemma 13.1.14 (Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen). Seien
M, N glatte Mannigfaltigkeiten und V ein lokal konvexer Hausdorff’scher
topologischer Vektorraum. Eine Abbildung f : M × N → V ist glatt genau
dann, wenn (1) für jeden Punkt p ∈ M die Abbildung N → V, y ↦→ f(p, y)
glatt ist und außerdem (2) für jeden Punkt q ∈ N die Abbildung M → V,
x ↦→ f(x, q) glatt ist.
Beweis. Das ist nur eine koordinatenfreie Umformulierung von 13.1.11.
Übung 13.1.15. Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und V ein
Hausdorff’scher topologischer Vektorraum. Sind f : M → V und g : N → M
glatt, so ist auch f ◦ g : N → V glatt.
Übung 13.1.16. Eine Abbildung von einer offenen Teilmenge eines R n in einen
Hausdorff’schen topologischen Vektorraum ist von der Klasse C k genau dann,
wenn alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k existieren und stetig sind.
Übung 13.1.17 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).
Man zeige für stetige Abbildungen von einem halboffenen reellen Intervall
I in einen von-Neumann-Raum V den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Gegeben eine stetige Funktion f : I → V und ein Punkt a ∈ I
ist die Funktion
F : I → V
x ↦→ x
f(t) dt
a
die einzige differenzierbare Funktion F : I → V mit F ′ = f und F (a) = 0.