Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1303
Definition 4.11.5. Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω = (Ω, A, P ) gegeben.
Ein diskretes Martingal auf Ω ist eine Folge (Fn, Xn) von Paaren bestehend
aus einer σ-Algebra Fn ⊂ A und einer integrierbaren reellen Zufallsvariable
Xn ∈ L 1 R(Ω; Fn, P ) derart, daß unsere σ-Algebren eine aufsteigende
Folge F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ A bilden und daß für die jeweils durch die kleinere
σ-Algebra bedingten Erwartungen gilt
Xn = E(Xn+1|Fn) ∀n ≥ 0
Bemerkung 4.11.6. Die Herkunft der Bezeichnung als “Martingal” scheint
nicht geklärt zu sein. Ursprünglich bezeichnet dieses Wort einen Teil des
Zaumzeugs beim Springreiten.
Beispiel 4.11.7. Ist Ω = (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und darauf
F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ A eine aufsteigende Folge von σ-Algebren und X ∈ L 1 R(Ω)
eine integrierbare Zufallsvariable und bilden wir die zugehörigen bedingten
Erwartungen Xn = E(X|Fn), so bildet die Folge der (Fn, Xn) wegen 4.11.3
ein diskretes Martingal. Die Zufallsvariablen Xn derartiger Martingale sind
stets gleichgradig integrierbar im Sinne der folgenden Definition 4.11.9, und
umgekehrt ist auch jedes gleichgradig integrierbare Martingal von dieser Gestalt,
wie der bald folgende“Konvergenzsatz für Martingale”4.11.13 ausführt.
Der anschließende Satz zeigt uns bereits, in welcher Weise unser X in dieser
Situation der Grenzwert der Xn sein muß.
Satz 4.11.8 (von Levy). Ist Ω = (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum,
F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ A eine Folge von σ-Algebren, F∞ = σ ( Fn) das σ-
Erzeugnis ihrer Vereinigung und X ∈ L 1 R(Ω; F∞, P ) eine integrierbare F∞meßbare
Funktion, so streben deren durch Fn bedingte Erwartungen sowohl
im Mittel als auch punktweise fast überall gegen die ursprüngliche Funktion,
in Formeln
E(X|Fn) → X
Beweis. Sicher ist die Menge aller X ∈ L 1 , für die die Aussage des Satzes
gilt, ein Untervektorraum U ⊂ L 1 . Sicher enthält dieser Untervektorraum
die charakteristischen Funktionen [A] von allen A ∈ Fn für alle n ≥ 0. Nach
4.11.15 erzeugen diese Funktionen einen dichten Teilraum im Raum aller F∞meßbaren
integrierbaren Funktionen. Wir müssen also nur noch zeigen, daß
unser Untervektorraum U abgeschlossen ist. Sei dazu X 0 , X 1 , . . . eine Folge
in U mit
X i → X
im L 1 -Sinne für eine Grenzfunktion X ∈ L 1 . Für jedes ε > 0 gibt es insbesondere
ein i mit X i − X1 ≤ ε. Wir setzen E(X i |Fn) = X i n. Aus 4.11.4