Analysis

630 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
7.9.14 (Anschauung für den Laplaceoperator). Der Wert von ∆f an
einer Stelle x mißt die Abweichung des Funktionswerts von f bei x vom
Durchschnitt der Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von x. In einer
Veränderlichen gilt zum Beispiel für jede zweimal stetig differenzierbare
Funktion
f ′′ 2
(x) = lim
ε→0 ε2
f(x + ε) + f(x − ε)
− f(x)
2
wie der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachprüfen kann. In mehreren
Veränderlichen gilt in derselben Weise für jede zweimal stetig differenzierbare
Funktion mit der Notation ei für die Vektoren der Standardbasis
2
(∆f)(x) = lim
ε→0
n
ε2
1
2n
n
f(x + ε ei) + f(x − ε ei) − f(x)
i=1
Übung 7.9.15 (Mehr Anschauung für den Laplaceoperator). Man zeige,
daß der Laplaceoperator invariant ist unter Drehungen. Ist genauer A ∈ O(n)
eine orthogonale Matrix und bezeichnet A : Rn → Rn die zugehörige lineare
Abbildung, so zeige man für jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
f : Rn → R die Formel ∆(f ◦ A) = (∆f) ◦ A. Man folgere die Formel
2
(∆f)(x) = lim
ε→0
n
ε2
y−x=ε
y−x=ε
f(y) σ〈y〉
− f(x)
σ〈y〉
auf deren rechter Seite nach dem Faktor 2 n /ε 2 bis auf ein Vorzeichen die Differenz
zwischen dem Funktionswert f(x) und dem Durchschnitt der Funktionswerte
auf einer Kugelschale mit Zentrum in x und Radius ε steht. Hinweis:
Man mittle 7.9.14. Die Taylorentwicklung oben liefert in einer Veränderlichen
sogar präziser die Darstellung
2
ε2
f(x + ε) + f(x − ε)
2
mit ξ + ∈ (x, x + ε) und ξ − ∈ (x − ε, x).
− f(x) = (f ′′ (ξ + ) + f ′′ (ξ − ))/2
Ergänzende Übung 7.9.16. Die polynomialen Funktionen D ∈ C[X1, . . . , Xn]
auf dem R n , die invariant sind unter allen Drehungen A ∈ SO(n), sind genau
alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln
C[X1, . . . , Xn] SO(n) = C[(X 2 1 + . . . + X 2 n)]
Die Differentialoperatoren D ∈ C[∂1, . . . , ∂n] mit konstanten Koeffizienten
auf dem R n , die invariant sind unter allen Drehungen A ∈ SO(n), sind genau
alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln
C[∂1, . . . , ∂n] SO(n) = C[∆]