Analysis

960 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
induziert, der auch natürlich ist in T in dem Sinne, daß jeder Homomorphismus
in eine weitere abelsche kompakte Liegruppe ϕ : T → S ein kommutatives
Diagramm liefert der Gestalt
HomZ(X(T ), i R)
∼
Lie T
HomZ(X(S), i R)
dϕ
∼
Lie S
Gegeben G ⊃ T eine kompakte zusammenhängende Liegruppe mit einem maximalen
Torus wirkt also insbesondere ein Element der Weylgruppe W(G, T )
auf Lie T als Spiegelung genau dann, wenn es auf X(T ) als Gitterspiegelung
wirkt.
6.4.31. Ich erinnere daran, wie wir in 2.1.26 jedem reellen Vektorraum V einen
komplexen Vektorraum VC mitsamt einer R-linearen Abbildung can : V → VC
zugeordnet hatten derart, daß das Vorschalten von can für jeden komlexen
Vektorraum W eine Bijektion
HomC(VC, W ) ∼ → HomR(V, W )
liefert. Ähnlich bilden wir auch zu jeder endlich erzeugten abelschen Gruppe
X und jedem Körper k einen k-Vektorraum Xk als den Dualraum des Raums
der Homomorphismen von abelschen Gruppen Ab(X, k) von X nach k mit
seiner offensichtlichen Struktur eines k-Vektorraums, in Formeln
Xk = Ab(X, k) ∗
Das Auswerten liefert dann einen Gruppenhomomorphismus can : X → Xk
und für jeden k-Vektorraum W liefert das Vorschalten von can eine Bijektion
Homk(Xk, W ) ∼ → Ab(X, W )
Zum Beispiel liefert der offensichtliche Gruppenhomomorphismus Zn → kn einen Vektorraumisomorphismus (Zn ∼
)k → kn . Man sagt auch, Xk entstehe
aus X durch Erweiterung der Skalare, und sobald Sie mit dem Tensorprodukt
über Ringen vertraut sind, werden Sie einen kanonischen Isomorphismus
∼
Xk → X ⊗Z k kennenlernen und merken, daß die durch das Tensorprodukt
erklärte Erweiterung der Skalare viel “besser” ist, da sie auch im Fall einer
nicht notwendig endlich erzeugten abelschen Gruppe X funktioniert. Schreiben
wir VC, so muß der Leser von nun an aus dem Kontext erschließen, ob
die Komplexifizierung eines reellen Vektorraums V oder vielmehr die Erweiterung
einer endlich erzeugten abelschen Gruppe V zu einem C-Vektorraum
gemeint ist.