Analysis

1400 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
3.2.6. Für die Summe der ungeraden Potenzen k −u für ungerades natürliches
u ist derzeit (2005), soweit ich weiß, keine Aussage dieser Art bekannt.
Beweis. Multiplizieren wir die Reihenentwicklung des Kotangens 3.2.1 mit
z, so erhalten wir
∞
1 1
πz cot(πz) = 1 + z
+
z − k z + k
k=1
im Sinne der kompakten Konvergenz, erst auf C\Z, aber dann sehr leicht
auch auf (C\Z) ∪ {0}. Sicher sind beide Seiten gerade Funktionen von z.
Leiten wir beide Seiten 2n-mal ab und werten bei z = 0 aus, so ergibt sich,
da wir ja nach 1.7.5 Grenzwert und Ableitung vertauschen dürfen, für n ≥ 1
die Formel
d2n dz2n
z=0
πz cot(πz) = 2n
∞
k=1
2 (−1)2n−1 (2n − 1)!
k 2n
Diese Formel drückt den Wert der Riemann’schen ζ-Funktion an allen positiven
geraden natürlichen Zahlen aus in den Laurentkoeffizienten des Kotangens.
Nun ergibt sich die Laurentreihe des Kotangens durch Multiplikation
und Inversenbildung aus den Taylorreihen von Sinus und Cosinus und hat
nach elementaren Überlegungen insbesondere stets rationale Koeffizienten.
Das Korollar folgt.
3.2.7. Um die Werte der ζ-Funktion an den geraden positiven ganzen Zahlen
explizit zu berechnen, beachte man
cot z = i eiz + e−iz eiz 2i e−iz
= i +
− e−iz eiz − e
2i
= i + −iz e2iz −1
Die Bernoulli-Zahlen B2, B4, . . . sind nun definiert als die höheren Ableitungen
von z/(ez −1) am Ursprung, in Formeln
B2n = d2n
dz2n
z
ez
−1
z=0
Sie sind natürlich rational und lassen sich induktiv berechnen, indem man die
wohlbekannte Taylorreihe von (e z −1)/z formal invertiert. Vermittels dieser
Zahlen lassen sich dann die Werte der Riemann’schen ζ-Funktion an den
positiven geraden ganzen Zahlen nach dem Vorhergehenden und elementarer
Rechnung, die dem Leser zur Übung überlassen sei, ausdrücken in der Gestalt
ζ(2n) = (−1)
n+1 22n−1 2n
B2nπ
(2n)!