Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 497
Integralkurven von A mit offenem Definitionsbereich, und je zwei Integralkurven
γ : I → U und φ : J → U mit demselben Anfangswert stimmen für
hinreichend kleines ε > 0 auf I ∩ J ∩ [−ε, ε] überein.
Ergänzung 5.2.4. Allgemeiner gilt das auch für stetige beschränkte zeitabhängige
Vektorfelder A : (−a, a)×U → X, die nur partiell lipschitzstetig sind
in dem Sinne, daß es eine Konstante L gibt mit A(t, x)−A(t, y) ≤ Lx−y
für alle t ∈ (−a, a) und x, y ∈ U. Der Beweis ist mutatis mutandis derselbe.
Diese Variante ist insofern stärker, als das Lemma beim Übergang 5.1.19
von zeitabhängigen zu zeitunabhängigen Vektorfeldern dieselbe Folgerung
nur liefert unter der stärkeren Annahme, daß A : (−a, a) × U → X nicht nur
“partiell” sondern “auch in Bezug auf die erste Variable” lipschitzstetig ist.
Beweis. Wir betrachten für ein beliebiges halboffenes kompaktes reelles Intervall
K ⊂ R mit 0 ∈ K den affinen Raum
Cp(K, X)
aller stetigen Wege γ : K → X mit γ(0) = p und versehen seinen Richtungsraum
C0(K, X) mit der Norm ∞ der gleichmäßigen Konvergenz. Nach
II.7.5.30 erhalten wir so einen vollständigen normierten Vektorraum. Nun
betrachten wir in unserem affinen Raum die offene Teilmenge Cp(K, U) aller
in U verlaufenden Wege und die Abbildung
F : R × Cp(K, U) → R × Cp(K, X)
(τ , γ) ↦→ τ, γ − τ (A ◦ γ)
wobei : C(K, X) → C0(K, X) gegeben sei durch ( ψ)(t) = t
ψ(s) ds mit
0
unserem vektorwertigen Integral aus III.1.3.3. Bezeichne κ den konstanten
Weg bei p. Unter unserer Abbildung geht aufgrund der vektorwertigen Variante
III.1.3.6 des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (τ, γ)
nach (τ, κ) genau dann, wenn γ : K → U eine Integralkurve des reskalierten
Feldes τA ist. Insbesondere haben wir (0, κ) ↦→ (0, κ). Wir wenden nun
den Umkehrsatz für stetige Funktionen 4.1.10 an und zeigen genauer, daß
für η > 0 hinreichend klein und K ⊂ [−1/4S, 1/4S] mit S > 0 einer oberen
Schranke der Normen der Vektoren unseres Vektorfelds A die Restriktion von