Analysis

460 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Ist M ⊂ X eine Untermannigfaltigkeit der Dimension k und (U, g)
eine Plättung von M, so liefert die Einschränkung von g −1 auf W = g(U) ∩
(R k ×0) eine Karte von M. Folglich hat eine Untermannigfaltigkeit um jeden
Punkt mindestens eine Karte. Ist andererseits ϕ : W → M ⊂ X eine Karte
von M um p mit W ⊂◦ R k , so können wir Vektoren v1, . . . , vn−k ∈ X finden
derart, daß das Differential von
˜ϕ : W × R n−k → X
(w, t1, . . . , tn−k) ↦→ ϕ(w) + t1v1 + . . . + tn−kvn−k
im Punkt (ϕ−1 (p), 0) bijektiv ist. Nach dem Umkehrsatz 4.1.2 induziert ˜ϕ
dann einen C1-Diffeomorphismus von einer offenen Umgebung G⊂◦ W ×Rn−k von (ϕ−1 (p), 0) auf eine offene Umgebung Ũ ⊂◦ X von p. Kürzen wir in etwas
gewagter Notation
{w ∈ W | (w, 0) ∈ G} = W ∩ G
ab, so ist W ∩G offen in W und damit ϕ(W ∩G) offen in ϕ(W ) und damit in
M. Also gibt es U1 ⊂◦ X mit ϕ(W ∩G) = M ∩U1. Dann setzen wir U = Ũ ∩U1
und g = ˜ϕ −1 : U → Rn ist die gesuchte Plättung von M um p.
Übung 4.3.17. Man zeige: Gegeben eine Karte (W, ϕ) einer Untermannigfaltigkeit
M ⊂ X und ein Punkt p ∈ W gibt es stets ein Paar (U, g) bestehend
aus einer offenen Umgebung U ⊂◦ X von ϕ(p) und einer C 1 -Abbildung
g : U → W derart, daß gilt g(ϕ(y)) = y für alle y ∈ ϕ −1 (U).
Übung 4.3.18. Der Doppelkegel {(x, y, z) | x 2 + y 2 = z 2 } ist keine Untermanngigfaltigkeit
des R 3 . Auch die Teilmenge aller seiner Punkte mit nichtnegativer
z-Koordinate ist keine Untermanngigfaltigkeit des R 3 . Entfernen
wir aus dem Doppelkegel jedoch den Ursprung, so erhalten wir eine Untermanngigfaltigkeit
des R 3 .
4.3.19. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum und M ⊂ X eine Untermannigfaltigkeit.
Die Umkehrabbildung ϕ −1 : ϕ(W ) → R k zu einer Karte
ϕ : W → M von M nennen wir in Verallgemeinerung von 4.3.4 ein lokales
Koordinatensystem von M und seine Komponenten pr i ◦ϕ −1 : ϕ(W ) → R
für 1 ≤ i ≤ k nennen wir lokale Koordinaten auf M. Viele Autoren verwenden
allerdings auch eine andere Terminologie und verstehen unter einer
Karte das, was wir ein Koordinatensystem genannt haben. Lokale Koordinaten
um einen Punkt der Erdoberfläche, der nicht gerade auf dem sogenannten
“Nullmeridian” liegt, sind etwa die Längen- und Breitengrade. Bilden Funktionen
x1, . . . , xk : U → R ein System von lokalen Koordinaten auf einer
offenen Teilmenge U ⊂◦ M einer Mannigfaltigkeit, und ist f : U → R eine
auch die Funktion U → R, die unter der
Funktion, so bezeichnen wir mit ∂f
∂xi