Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 827
Teilmenge eines topologischen Raums, deren Abschluß kompakt ist, nennt
man relativ kompakt.
3.3.3. Nach II.6.10.3 ist ein metrischer Raum “folgenkompakt”, als da heißt
kompakt im Sinne von II.6.7.1 genau dann, wenn er für seine metrische Topologie
kompakt ist im Sinne unserer abstrakten Definition 3.3.1.
Beispiele 3.3.4. Eine Menge mit der diskreten Topologie ist kompakt genau
dann, wenn sie endlich ist. Eine Menge mit der Klumpentopologie ist stets
kompakt.
3.3.5. Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. So sind
gleichbedeutend nach unseren Definitionen (1) A ist kompakt (mit der induzierten
Topologie) und (2) für jedes System U ⊂ P(X) von offenen Teilmengen
von X mit A ⊂
U∈U U finden wir ein endliches Teilsystem E ⊂ U mit
A ⊂
U∈E U.
Lemma 3.3.6. Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist stets abgeschlossen.
Beweis. Durch Widerspruch. Sei X unser Hausdorffraum und A ⊂ X eine
kompakte Teilmenge. Ist A nicht abgeschlossen, so gibt es x ∈ A\A. Für jedes
a ∈ A finden wir dann in X disjunkte offene Umgebungen Ua und Va von a
und x. Natürlich gilt A ⊂
a∈A Ua, also gibt es auch endlich viele a, . . . , b ∈ A
mit A ⊂ Ua ∪ . . . ∪ Ub. Als endlicher Schnitt offener Mengen ist dann jedoch
auch Va ∩ . . . ∩ Vb offen und nach Konstruktion gilt A ∩ Va ∩ . . . ∩ Vb = ∅ im
Widerspruch zu unserer Annahme x ∈ A.
Lemma 3.3.7. Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist
stets kompakt.
Beweis. Sei X unser kompakter Raum und A ⊂ X abgeschlossen. Ist U
ein System von offenen Teilmengen von X, deren Vereinigung A umfaßt, so
schließen wir
A ⊂
U∈U
für geeignete U1, . . . , Uk ∈ U.
U ⇒ X = (X\A) ∪
U∈U U
⇒ X = (X\A) ∪ U1 ∪ . . . ∪ Uk
⇒ A ⊂ U1 ∪ . . . ∪ Uk
Satz 3.3.8. Das Bild eines kompakten Raums unter einer stetigen Abbildung
ist stets kompakt.