Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 667
erwarten, daß das Integral 2.1.1 für alle y konvergiert, ja das wäre sogar fast
etwas beunruhigend, da es uns unter Verwendung der Inversionsformel erlauben
würde, zu jeder quadratintegrierbaren Funktion einen wohlbestimmten
“überall definierten Repräsentanten” auszuzeichnen. Stattdessen können
wir wie folgt vorgehen: Wir wählen reelle Folgen an, bn mit an → −∞ und
bn → ∞ und betrachten die integrierbaren Funktionen fn, die durch Restriktion
von f auf das kompakte Intervall [an, bn] und Ausdehnen durch Null
entstehen. Dann gilt fn → f im L 2 -Sinne und folglich auch F2(fn) → F2(f)
im L 2 -Sinne. Da die fn integrierbar sind, gilt nach der im folgenden bewiesenen
Proposition 2.1.30 nun aber F2(fn) = F1(fn) = f ∧ n , und das können
wir mit unserer Formel 2.1.1 jedenfalls im Prinzip ausrechnen. Die so gebildeten
fast überall definierten Funktionen f ∧ n streben demnach im L 2 -Sinne
gegen F2(f). Gelingt es uns also zum Beispiel, Folgen an, bn so geschickt zu
wählen, daß die Folge der Fouriertransformierten f ∧ n fast überall punktweise
konvergiert, so ist dieser punktweise Grenzwert nach 1.3.9 notwendig bereits
quadratintegrierbar und ist unsere gesuchte Fouriertransformierte F2(f).
Definition 2.1.23. Eine fast überall definierte Funktion f : R n → C heißt
lokal integrierbar genau dann, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt
derart, daß die Einschränkung unserer Funktion auf besagte Umgebung
integrierbar ist in Bezug auf das Lebesgue-Maß. Wir notieren den Raum aller
reellwertigen bzw. komplexwertigen lokal integrierbaren Funktionen auf dem
R n mit
L 1
loc(R n , R) ⊂ L 1
loc(R n )
Ergänzung 2.1.24. Ist allgemeiner µ ein topologisches Maß auf einem topologischen
Raum X, so nennen wir eine µ-fast überall definierte Funktion
f : X → C lokal integrierbar in Bezug auf µ genau dann, wenn jeder
Punkt eine offene Umgebung besitzt derart, daß die Einschränkung unserer
Funktion auf besagte Umgebung integrierbar ist in Bezug auf µ. Diesen
Funktionenraum notieren wir dann L 1 loc(X; µ).
Übung 2.1.25. Jede L p -Funktion auf R n für p ∈ [1, ∞] ist lokal integrierbar.
Genau dann ist eine fast überall definierte Funktion lokal integrierbar,
wenn ihre Einschränkung auf jedes Kompaktum integrierbar ist. Jede lokal
integrierbare Funktion ist meßbar.
Lemma 2.1.26. Zwei lokal integrierbare Funktionen auf dem R n , deren Produkt
mit jeder kompakt getragenen glatten Funktion dasselbe Integral hat,
stimmen bereits als fast überall definierte Funktionen überein.
2.1.27. Dasselbe gilt auch mit fast demselben Beweis für zwei in Bezug auf ein
vorgegebenes nichtnegatives Borelmaß lokal integrierbare Funktionen. Der-