Analysis

748 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Lemma 3.9.16. Die Fouriertransformierten glatter Funktionen mit kompaktem
Träger auf der reellen Zahlengeraden bilden einen dichten Teilraum im
Raum aller integrierbaren Funktionen auf der reellen Zahlengeraden.
Beweis. Zunächst einmal liegt der Schwartzraum dicht im Raum aller integrierbaren
Funktionen, es reicht also für jede Funktion des Schwartzraums
f ∈ S eine Folge gn ∈ C ∞ c (R) anzugeben mit limn→∞ g ∧ n − f1 = 0. Dazu
schreiben wir f = g ∧ mit g ∈ S und wählen h ∈ C ∞ c (R) mit h|[−1,1] = 1
und betrachten die Funktionen hn mit hn(x) = h(x/n) und setzen gn = hng.
Jetzt behaupte ich
(gn) (i) → g (i)
in der L 2 -Norm für i = 0, 1, 2, also für die Funktionen selbst und für ihre erste
und zweite Ableitung. Sobald das gezeigt ist, folgern wir y i g ∧ n → y i g ∧ in der
L 2 -Norm für i = 0, 1, 2 und damit (1+y 2 )g ∧ n → (1+y 2 )g ∧ in der L 2 -Norm. Da
aber (1 + y 2 ) −1 selbst quadratintegrierbar ist, folgt mit 3.9.15 sofort g ∧ n → g ∧
in der L 1 -Norm. Warum aber gilt (hng) (i) → g (i) in der L 2 -Norm? Nun, wir
finden eine Schranke C für |h − 1| und eine Schranke M mit |g(x)| ≤ Mx −2
für x ≥ 1 und folgern |hng − g| = |hn − 1| · |g| ≤ MCx −2 für x ≥ 1. Für
|x| ≤ n verschwindet andererseits diese Differenz identisch, und so folgt
∞
hng − g2 ≤ 2MC x −2 dx
und das strebt für n → ∞ gegen Null. Die Behauptung für die höheren
Ableitungen zeigt man ähnlich.
3.10 Variationen zum Spektralsatz
Satz 3.10.1 (Simultane Spektralzerlegung). Gegeben ein Hilbertraum
H haben wir eine Bijektion
⎧
⎨ Kompakt getragene auf
R
⎩
n ⎫ ⎧
⎫
⎬ ⎨ n-Tupel (T1, . . . , Tn) von paar- ⎬
∼
definierte Teilungen → -weise kommutierenden selbst-
⎭ ⎩
⎭
Φ der Identität von H
-adjungierten Operatoren auf H
Φ ↦→
x1Φ, . . . , xnΦ
Gegeben eine stetige lineare Abbildung A : H → H ′ von Hilberträumen und
paarweise kommutierende selbstadjungierte Operatoren T1, . . . , Tn ∈ B(H)
sowie T ′ 1, . . . , T ′ n ∈ B(H ′ ) mit ATν = T ′ νA für 1 ≤ ν ≤ n haben wir für
die zugehörigen projektorwertigen Maße Φ, Φ ′ und jede Borelmenge M ⊂ R n
weiter die Identität
A ◦ Φ(M) = Φ ′ (M) ◦ A
n