Analysis

582 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Ergänzung 7.3.3. Man will sich meist die verschiedenen Tangentialräume als
paarweise disjunkt denken, ändert die obige Definition deshalb ab und setzt
formal
TpM := {p} × im(duϕ) ⊂ {p} × X
So kann man dann das Tangentialbündel von M definieren als
TM :=
TpM ⊂ M × X
p∈M
Unter geeigneten zusätzlichen Differenzierbarkeitsannahmen an unsere Untermannigfaltigkeit
M kann man zeigen, daß TM ⊂ X × X eine Untermannigfaltigkeit
der Dimension 2(dim M) ist, vergleiche VI.1.6.13. Die einzelnen
Tangentialräume erhält man als die Fasern der Projektion π : TM → M des
Tangentialbündels auf die Mannigfaltigkeit, in Formeln TpM = π −1 (p).
7.3.4. Wir erinnern daran, daß nach ?? eine Orientierung eines endlichdimensionalen
Vektorraums V über einem angeordneten Körper eine Vorschrift
ε ist, die jeder angeordneten Basis B unseres Vektorraums ein Vorzeichen
ε(B) ∈ {+1, −1} zuordnet und zwar so, daß für je zwei angeordnete Basen
B, B ′ die Determinante der Basiswechselmatrix das Vorzeichen ε(B)ε(B ′ )
hat. In ?? werden auch noch weitere Begriffsbildungen in diesem Zusammenhang
formal eingeführt, deren Bedeutung Sie aber auch leicht selbst werden
erraten können.
Definition 7.3.5. Eine Orientierung einer k-Mannigfaltigkeit M ist eine
Vorschrift, die jedem Punkt p ∈ M eine Orientierung im Sinne von ?? des
Tangentialraums TpM zuordnet und zwar so, daß es um jeden Punkt eine
Karte ϕ : W → M gibt mit der Eigenschaft, daß die Differentiale dxϕ :
R k ∼ → Tϕ(x)M für x ∈ W entweder alle orientierungserhaltend oder alle
orientierungsumkehrend sind.
7.3.6. Eine Orientierung einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit M anzugeben
bedeutet schlicht, eine Abbildung ε : M → {+1, −1} anzugeben, deren
Wert bei p ∈ M eben das Vorzeichen der angeordneten Basis ∅ des Tangentialraums
TpM ist.
Definition 7.3.7. Unter einer orientierten Mannigfaltigkeit versteht
man ein Paar bestehend aus einer Mannigfaltigkeit M und einer Orientierung
auf M. Ich notiere orientierte Mannigfaltigkeiten oft mit einem Pfeil,
etwa als M, aber das ist nicht allgemein üblich. Eine Mannigfaltigkeit, die
mindestens eine Orientierung zuläßt, nennt man eine orientierbar. Das“Möbiusband”
ist ein Beispiel für eine nicht orientierbare 2-Mannigfaltigkeit in
R 3 .