Analysis

190 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
so reicht es nach 4.3.11 zu zeigen, daß f ′ monoton wächst. Kürzen wir die
Steigung der Sekante durch (x, f(x)) und (y, f(y)) ab mit sxy = f(x)−f(y)
, so
x−y
impliziert die Konvexität die Ungleichungskette
sxy ≤ sxz ≤ syz
Hier ist sxy ≤ syz eine direkte Konsequenz der Konvexität, und da sicher gilt
(x − y)sxy + (y − z)syz = (x − z)sxz, liegt sxz als ein “gewichtetes Mittel”
zwischen sxy und sxz. Unsere Ungleichungskette schreiben wir nun aus zu
f(x) − f(y)
x − y
≤
f(x) − f(z)
x − z
≤
f(y) − f(z)
y − z
Die Sekantensteigungsfunktionen y ↦→ f(x)−f(y)
und y ↦→ x−y
f(y)−f(z)
wachsen
y−z
insbesondere monoton auf (x, z] bzw. [x, z) und im Grenzwert folgt
f ′ (x) ≤
f(x) − f(z)
x − z
≤ f ′ (z)
Definition 4.3.20. Wir nennen eine Funktion f : I → R auf einem reellen
Intervall I streng konvex (bzw. streng konkav) genau dann, wenn ihr
Graph echt unter (bzw. echt über) jeder Sekante liegt, wenn also in Formeln
für alle x < y < z aus I gilt
f(x) − f(y)
x − y
bzw. > für streng konkave Funktionen.
< f(y) − f(z)
y − z
Satz 4.3.21. Sei I ⊂ R ein halboffenes Intervall und f : I → R zweimal
differenzierbar. So gilt
Beweis. Übung.
f ist streng konvex ⇐ f ′′ (x) > 0 ∀x ∈ I
f ist streng konkav ⇐ f ′′ (x) < 0 ∀x ∈ I
Übung 4.3.22. Gegeben reelle Zahlen a, b ≥ 0 und p, q > 1 mit 1
p
+ 1
q
= 1
zeige man die Young’sche Ungleichung ab ≤ p −1 a p + q −1 b q . Hinweis: Man
gehe von der Konvexität der Exponentialfunktion aus.
Übung 4.3.23. Gegeben reelle Zahlen a, b ≥ 0 und p ≥ 1 zeige man die
Ungleichung (a + b) p ≤ 2 p−1 (a p + b p ). Hinweis: Man gehe von der Konvexität
der Funktion [0, ∞) → R, x ↦→ x p aus.