Analysis

704 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
3 Spektraltheorie in Hilberträumen
3.1 Unitäre Darstellungen von R
Definition 3.1.1. Die unitären Automorphismen eines Hilbertraums H bilden
eine Gruppe U(H). Eine unitäre Darstellung von R ist ein Paar
(H, ρ) bestehend aus einem Hilbertraum H und einem Gruppenhomomorphismus
ρ : R → U(H) derart, daß die zugehörige Operation R × H → H,
(t, v) ↦→ (ρ(t))(v) stetig ist für die Produktmetrik auf R × H.
3.1.2. In Formeln fordern wir von unserer Abbildung ρ also
ρ(s + t) = ρ(s) ◦ ρ(t) ∀s, t ∈ R
Unitäre Darstellungen von R sind in der Quantenmechanik von grundlegender
Bedeutung, da die zeitliche Entwicklung jedes quantenmechanischen Systems
durch eine unitäre Operation von R oder noch präziser von der dazu isomorphen
Gruppe T der Zeitspannen auf dem Hilbertraum H seiner Zustände
modelliert wird. Als erstes Beispiel betrachten wir auf R das Lebesgue-Maß
dt und die unitäre Darstellung von R auf H = L 2 (R; dt) durch das Verschieben
von Funktionen ρ(t)f = τtf, deren Stetigkeit in 1.5.7 gezeigt wurde. Der
folgende Satz 3.1.4 soll als Leitbild für die Entwicklung der Spektraltheorie
dienen, die wir anschließend in Angriff nehmen werden. Er stellt gleichzeitig
eine große Klasse von Beispielen bereit und wirft Licht auf die allgemeine
Struktur.
Vorschau 3.1.3. Man kann U(H) so mit der Struktur einer topologischen
Gruppe versehen, daß unsere unitären Darstellungen gerade die Einparameteruntergruppen
von U(H) sind: Das leistet die sogenannte starke Operatortopologie,
die definiert ist als die Initialtopologie zu allen Auswertungen
an Vektoren U(H) → H.
Satz 3.1.4 (Lokale Struktur unitärer Darstellungen von R). Ist H ein
Hilbertraum und ρ : R → U(H) eine unitäre Darstellung von R und v ∈ H
ein Vektor, so gibt es genau ein Paar (µ, ϕ) mit µ = µv einem endlichen
Borelmaß auf R und ϕ : L 2 (R; µ) ↩→ H einer unitären Einbettung derart,
daß gilt ϕ(1) = v und
ρ(t) ◦ ϕ = ϕ ◦ (e i tx ·) ∀t ∈ R
3.1.5. Das Symbol x ist hier in dem Sinne zu verstehen, daß ein Element
f ∈ L 2 (R; µ) eine Funktion f(x) sein soll. Für jedes feste t ∈ R ist also
mit (e i tx ·) die Abbildung (e i tx ·) : L 2 (R; µ) → L 2 (R; µ) gemeint ist, die ein