Analysis

1222 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
TM ⊂ TE N und unsere Karte ϕ : W ∼ → U liefert eine Karte dϕ : W × R n ∼ →
TU ⊂◦ TM vermittels der Abbildungsvorschrift
dϕ : (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) ↦→ (d(x1,...,xn)ϕ)(y1, . . . , yn)
Wir können demnach (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) als ein lokales Koordinatensystem
auf dem Tangentialbündel TM auffassen. Es heißt das kanonische lokale
Koordinatensystem des Tangentialbündels zu dem vorgegebenen
lokalen Koordinatensystem (x1, . . . , xn) unserer Mannigfaltigkeit. In derselben
Weise ist nun auch das mit Einheiten 〈〈1/s〉〉 versehene Tangentialbündel
eine Untermannigfaltigkeit
TM ⊗ 〈〈1/s〉〉 ⊂ TE N ⊗ 〈〈1/s〉〉
Sie heißt der Phasenraum oder genauer Geschwindigkeitsphasenraum
unseres Systems mit Zwangsbedingungen, und wir erweitern unser
Koordinatensystem (x1, . . . , xn) in derselben Weise durch die Funktionen
yi := yi ⊗ id : TM ⊗ 〈〈1/s〉〉 → 〈〈1/s〉〉 zu einem kanonischen Koordinatensystem
mit Einheiten (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) auf dem Phasenraum. Unsere Kräfte,
die wir bisher als mit Einheiten 〈〈g/s 2 〉〉 versehene Vektorfelder aufgefaßt
haben, fassen wir nun vermittels der durch das Skalarprodukt E × E → L ⊗2
gegebenen Identifikation E ∼ → E ∗ ⊗ L ⊗2 , als mit Einheiten in 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 versehene
Kovektorfelder auf. Ihre Zusammenfassung F identifizieren wir entsprechend
als ein mit denselben Einheiten versehenes Kovektorfeld auf E N ,
also als eine Abbildung F : E N → ( E ∗ ) N ⊗ 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 oder etwas allgemeiner
eine Abbildung F : D → ( E ∗ ) N ⊗ 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 für D ⊂◦ E N den Definitionsbereich
unseres Feldes, von dem wir nur fordern, daß er unsere duch die
Zwangsbegingungen erklärte Mannigfaltigkeit M umfassen möge. Unter einem
Potential eines Kraftfelds unseres Kraftfelds verstehen wir dann eine
Abbildunng V : D → 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 mit der Eigenschaft F = − dV .
Satz 3.4.2. Die Kräfte und Massen fehlen noch! Sei I ⊂ T ein halboffenes
Zeitintervall, M ⊂ E N eine Mannigfaltigkeit von Zwangsbedingungen,
(x1, . . . , xn) ein lokales Koordinatensystem von M und (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)
das zugehörige System von kanonischen Koordinaten des Phasenraums TM ⊗
〈〈1/s〉〉. Genau dann erfüllt eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung
γ : I → M unsere physikalisch motivierten Bewegungsgleichungen
¨γ(t) − Q(γ(t)) ⊥m Tγ(t)M
aus 3.3.3, wenn für die zugehörige Abbildung (γ, ˙γ) : I → TM ⊗ 〈〈1/s〉〉
in den Geschwindigkeitsphasenraum die n sogenannten Euler-Lagrange-
Gleichungen
d ∂L
◦ (γ, ˙γ) −
dt ∂yl
∂L
◦ (γ, ˙γ) = 0
∂xl