Analysis

832 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 3.4.18. Jede stetige surjektive Abbildung von einem kompakten Raum
auf einen Hausdorff-Raum ist final. Hinweis: 3.3.10.
Übung 3.4.19. Eine Abbildung von topologischen Räumen heißt offen genau
dann, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist. Man zeige: Jede stetige
offene Surjektion ist final.
Übung 3.4.20. Ist f : Y → X final und Z ⊂ X offen oder abgeschlossen, so
ist auch f : f −1 (Z) → Z final.
Übung 3.4.21 (Finalität ist lokal in der Basis). Sei f : Y → X eine stetige
Abbildung. Besitzt X eine offene Überdeckung Z oder eine lokal endliche
abgeschlossene Überdeckung Z derart, daß f : f −1 (Z) → Z final ist für
alle Z ∈ Z, so ist auch f selbst final. Hinweis: Eigenständige Beweise sind
willkommen, aber man kann die Aussage aus 3.4.16 und 3.4.12 ableiten. Mit
der “Basis” ist hier im übrigen der Raum X gemeint. In Kombination mit
3.4.14 sehen wir insbesondere, daß alle diejenigen stetigen Abbildungen final
sind, die “lokal stetige Schnitte besitzen”.
Beispiel 3.4.22. Wir konstruieren das Möbiusband. Dazu betrachten wir auf
[0, 1]×[−1, 1] die Äquivalenzrelation ∼, die erzeugt wird von (0, y) ∼ (1, −y).
Die Menge der Äquivalenzklassen versehen wir mit der Quotiententopologie,
und fertig ist das Möbiusband. Als Übung zeige man, daß unser so konstruiertes
Möbiusband kompakt ist.
Beispiel 3.4.23. Wir zeigen, wie man mit unserem Formalismus zwei topologische
Räume X und Y verkleben kann. Wir brauchen dazu als “Kleber”
eine Menge Z und Abbildungen f : Z → X, g : Z → Y . Dann betrachten
wir auf der disjunkten Vereinigung Y ⊔ X die Äquivalenzrelation ∼ erzeugt
von f(z) ∼ g(z) ∀z ∈ Z und nehmen als Topologie auf der Verklebung
Y ⊔Z X = (Y ⊔ X)/ ∼
die Finaltopologie zu den beiden offensichtlichen Abbildungen X → Y ⊔Z X,
Y → Y ⊔Z X.
Ergänzende Übung 3.4.24. Sei f : Y ↠ X eine stetige Surjektion auf einen
Hausdorffraum. Man zeige: Besitzt X eine lokal endliche Überdeckung durch
Kompakta, deren Urbilder unter f auch kompakt sind, so ist f final. Hinweis:
3.4.21.
Beispiel 3.4.25 (Stetigkeit der Nullstellen eines Polynoms). Gegeben
n ≥ 1 betrachte man die Abbildung s : C n ↠ C n , die jedem n-Tupel
(λ1, . . . , λn) das n-Tupel (a1, . . . , an) der Koeffizienten des Polynoms
T n + a1T n−1 + . . . + an = (T − λ1) . . . (T − λn)