Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1359
Beweis. Für holomorphe Funktionen verschwinden diese Integrale nach dem
Integralsatz 1.4.3. Für die Umkehrung dürfen wir ohne Beschränkung der
Allgemeinheit annehmen, unsere Teilmenge sei eine offene Kreisscheibe. Verschwinden
dann alle die fraglichen Integrale, so besitzt unsere Funktion nach
1.3.16 eine Stammfunktion und ist folglich als Ableitung einer holomorphen
Funktion nach dem Satz von Goursat 1.6.5 selbst holomorph.
Korollar 1.6.11. Ist U ⊂◦ C offen und f : U → C eine stetige Funktion,
die holomorph ist auf dem Komplement einer oder allgemeiner endlich vieler
reeller affiner Geraden, so ist f bereits holomorph auf ganz U.
1.6.12. Man kann in ähnlicher Weise sehr viel stärkere Sätze beweisen. Als
Übung mögen sie zeigen, daß eine stetige Funktion, die holomorph ist auf
dem Komplement einer endlichen Vereinigung eindimensionaler in U abgeschlossener
C 1 -Untermannigfaltigkeiten der komplexen Zahlenebene im Sinne
von IV.4.3.2, bereits auf ganz U holomorph ist.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, daß
unsere Funktion auf dem Komplement einer einzigen reellen Geraden holomorph
ist und daß diese Gerade sogar die reelle Achse ist. Nach 1.6.9 reicht
es nun zu zeigen, daß für jedes achsenparallele ganz in unserer Teilmenge
enthaltene Rechteck das Randintegral verschwindet. Durch entsprechendes
Zerschneiden von Rechtecken ziehen wir uns auf den Fall zurück, daß eine
Kante unseres Rechtecks auf der reellen Achse liegt. Seien also a, b, a+hi, b+hi
mit a, b, h ∈ R und a < b sowie 0 = h die Ecken unseres Rechtecks. Nach elementaren
Abschätzungen ist dies Randintegral für jedes stetige f eine stetige
Funktion von h, die sich durch den Wert Null stetig nach h = 0 fortsetzen
läßt. Nach dem Integralsatz von Cauchy ist für f holomorph auf U\R dies
Randintegral aber unabhängig von h für h > 0 und, eventuell mit einem
anderen Wert, für h < 0. Das zeigt, daß es Null sein muß für alle h.
Übung 1.6.13 (Schwarz’sches Spiegelungsprinzip). Sei U ⊂◦ C offen und
stabil unter der komplexen Konjugation. Wir zerlegen U in einen Teil auf der
reellen Ache, einen Teil oberhalb und einen unterhalb in der Form
U = U + ⊔ (U ∩ R) ⊔ U −
mit U ± := {z ∈ U | ± Im z > 0}. Man zeige: Ist f : U + ⊔ (U ∩ R) → C
stetig, holomorph auf U + und reellwertig auf U ∩ R, so können wir U zu
einer holomorphen Funktion auf U ausdehnen, indem wir für alle z ∈ U −
setzen f(z) = f(¯z). Hinweis: 1.2.18 und 1.6.11.