Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 803
den sogenannten Pauli-Matrizen
0 1
σ1 = , σ2 =
1 0
0 −i 1 0
, σ3 =
i 0
0 −1
die eine C-Basis von sl(2; C) und eine R-Basis von i su(2) bilden.
Satz 2.2.6 (Einfache Darstellungen von sl(2; C)). 1. Zu jeder positiven
endlichen Dimension gibt es bis auf Isomorphismus genau eine einfache
Darstellung der Liealgebra sl(2; C);
2. Ist ˜e, ˜ h, ˜ f eine Basis von sl(2; C) mit [ ˜ h, ˜e] = 2˜e und [ ˜ h, ˜ f] = −2 ˜ f, so
zerfällt jede einfache Darstellung L der Dimension m + 1 unter ˜ h in
eindimensionale Eigenräume
L = Lm ⊕ Lm−2 ⊕ . . . ⊕ L2−m ⊕ L−m
zu den Eigenwerten m, m − 2, . . . , 2 − m, −m, und aus Lj = 0 = Lj+2
folgt ˜ ∼
∼
f : Lj+2 → Lj sowie ˜e : Lj → Lj+2.
2.2.7. Die einfachen Darstellungen der Dimensionen 1, 2 und 3 sind die triviale
Darstellung C, die Standarddarstellung C 2 und die “adjungierte Darstellung”,
die wir in 2.1.6 eingeführt haben. Eine explizite Beschreibung der
anderen einfachen Darstellungen wird im Beweis gegeben.
Ergänzung 2.2.8. Der Satz gilt mit demselben Beweis allgemeiner über jedem
algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null, und er folgt
daraus ohne Schwierigkeiten über jedem Körper der Charakteristik Null. In
positiver Charakteristik sind die Verhältnisse jedoch komplizierter.
Beweis. Daß es zu jeder endlichen Dimension eine einfache Darstellung L(m)
mit den versprochenen Eigenschaften gibt, wissen wir bereits aus dem Beweis
von 2.2.2. Explizit läßt sich eine derartige Darstellung auch mit etwas weniger
Vorzeichen angeben. Die Liealgebra sl(2; C) hat ja die Basis
0 1
0 1
e = @ A,
1 0 0 0
h = , f = ,
0 0 0 −1 1 0
und die Lie-Klammern zwischen den Elementen dieser Basis sind [h, e] =
2e, [h, f] = −2f, [e, f] = h. Mithilfe der Produktregel für formale partielle
Ableitungen prüft man leicht explizit, daß die Abbildung ρ : sl(2; C) →
gl(C[X, Y ]) gegeben durch die Vorschrift
ρ(e) = X∂y
ρ(f) = Y ∂x
ρ(h) = X∂x − Y ∂y