Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 843
3.8 Quotienten nach Gruppenwirkungen
3.8.1. Operiert eine Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum X, so
versehen wir den Bahnenraum X/G stets mit der Quotiententopologie zur
Projektion X ↠ X/G. Hierbei kommt es auf die Topologie von G nicht an,
wir können uns etwa G mit der diskreten Topologie versehen denken. Die Stetigkeitsbedingung
bedeutet dann schlicht, daß G durch stetige Abbildungen
operiert. Die Bequemlichkeit, mit der man im Rahmen der Theorie der topologischen
Räume Quotienten bilden kann, scheint mir ein ganz wesentlicher
Grund für ihre Allgegenwart in der Mathematik.
Lemma 3.8.2. Operiert eine Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum
X, so ist die Quotientenabbildung X ↠ X/G offen. Insbesondere ist für
jeden weiteren topologischen Raum Y auch das Produkt mit der Identität
Y × X ↠ Y × X/G final.
Beweis. Das Urbild des Bildes einer offenen Menge ist die Vereinigung all
ihrer mit der Gruppenoperation verschobenen Kopien und damit offen. Das
Produkt unserer Abbildung mit der Identität auf einem beliebigen Raum ist
damit auch offen und nach 3.4.19 als stetige offene Surjektion final.
Übung 3.8.3. Ist Y → X eine stetige G-äquivariante Abbildung von topologischen
Räumen mit einer stetigen Operation einer Gruppe G, und ist Y → X
initial, so ist auch die induzierte Abbildung Y/G → X/G initial. Hinweis: Es
gilt zu zeigen, daß jede für die Quotiententopologie auf Y/G offene Menge
auch für die Initialtopologie offen ist.
Übung 3.8.4 (Zusammenhangskomponenten von Bahnenräumen). Man
zeige: Operiert eine zusammenhängende topologische Gruppe G stetig auf einem
topologischen Raum X, so ist X zusammenhängend genau dann, wenn
X/G zusammenhängend ist. Allgemeiner: Operiert eine zusammenhängende
topologische Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum X, so induziert
die Quotientenabbildung X ↠ X/G eine Bijektion zwischen der Menge
Z(X) ⊂ P(X) der Zusammenhangskomponenten von X und der Menge
Z(X/G) ⊂ P(X/G) der Zusammenhangskomponenten von X/G.
Übung 3.8.5. Man zeige, daß die Gruppen SO(n) zusammenhängend sind.
Hinweis: Man zeige zunächst mit 3.4.18, daß die Operation auf der n-Sphäre
S n einen Homöomorphismus SO(n+1)/ SO(n) ∼ → S n liefert, und argumentiere
mit Induktion über n und 3.8.4. Man zeige weiter, daß auch die Gruppen
SU(n) zusammenhängend sind.