Analysis

946 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Definition 6.3.3. Der Normalisator einer Untergruppe H in einer Gruppe
G ist definiert als die Untergruppe NG(H) := {g ∈ G | gHg −1 = H} von G.
Proposition 6.3.4. Gegeben S ⊂ G ein Torus in einer topologischen Gruppe
liegt die Einszusammenhangskomponente seines Normalisators bereits in
seinem Zentralisator, in Formeln
(NGS) ◦ ⊂ ZGS
Beweis. Wir wenden Proposition 6.3.1 über die Starrheit von Tori an auf die
Abbildung ϕ : (NGS) ◦ → GrpTop(S, S), g ↦→ int g und folgern int g konstant,
also int g = int e = idS für alle g ∈ (NGS) ◦ .
Definition 6.3.5. Die Weylgruppe W = W(G, T ) einer kompakten Liegruppe,
genauer eines Paars G ⊃ T bestehend aus einer kompakten Liegruppe
mitsamt einem maximalen Torus, ist der Quotient des Normalisators
unseres Torus nach dem Torus selbst, in Formeln
W = (NGT )/T
Beispiel 6.3.6. Der Normalisator des maximalen Torus T aller Diagonalmatrizen
in der unitären Gruppe U(n) besteht genau aus allen Matrizen, die die
simultanen Eigenräume C eν unserer Diagonalmatrizen permutieren, als da
heißt aus allen unitären Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte genau einen
von Null verschiedenen Eintrag haben. In diesem Fall bilden die Permutationsmatrizen
ein Repräsentantensystem für die Weylgruppe.
Beispiel 6.3.7. Im Fall der Drehgruppe SO(3) besteht ein maximaler Torus
aus allen Drehungen um eine feste Achse und sein Normalisator aus allen Drehungen,
die besagte Achse in sich selber überführen, aber nicht notwendig
punktweise festhalten. Die Weylgruppe besteht aus zwei Elementen, und Repräsentanten
des nicht neutralen Elements sind alle Drehungen, die besagte
Achse “auf den Kopf stellen”.
Korollar 6.3.8. Ist G eine kompakte Liegruppe und T ⊂ G ein maximaler
Torus, so ist die Weylgruppe W = (NGT )/T endlich.
Bweis. Wir haben (NGT ) ◦ = (ZGT ) ◦ = T nach 6.3.4 und 6.1.5, folglich
ist (NGT )/T diskret als topologischer Raum. Dieser Raum ist jedoch auch
kompakt und folglich endlich.
Übung 6.3.9. Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung V einer
Liegruppe G und ein Torus T ⊂ G induziert die Operation seines Normalisators
NGT durch Konjugation auf T natürlich eine Operation von NGT auf
der Charaktergruppe X(T ). Man zeige für die Gewichtsräume von V unter
T aus 2.4.12 die Formel
nVχ = Vnχ für alle n ∈ NG(T ) und χ ∈ X(T ).