Analysis

1144 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beispiel 15.3.2. Rn ist eine Lie-Gruppe mit der Addition als Verknüpfung.
Dasselbe gilt für jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum.
Beispiel 15.3.3. Offene Teilmengen des Rn tragen stets in natürlicher Weise
die Struktur einer C∞-Mannigfaltigkeit. Mit dieser Struktur ist G = GL(n, R) ⊂
Rn2 eine Lie-Gruppe. Dasselbe gilt für G = GL(n, C) ⊂ R (2n)2.
15.4 Märchen: Lie-Gruppen und Liealgebren
Satz 15.4.1 (Ein-Parameter-Untergruppen). Ist G eine Liegruppe und Te G
ihr Tangentialraum im neutralen Element e ∈ G, so erhalten wir eine Bijektion
Glatte Gruppenhomomorphismen ∼→
Te G
ϕ : R → G
ϕ ↦→ ˙ϕ(0)
indem wir jedem glatten Gruppenhomomorphismus ϕ : R → G seine Geschwindigkeit
˙ϕ(0) zum Zeitpunkt Null zuordnen.
Bemerkung 15.4.2. Ein glatter Gruppenhomomorphismus ϕ : R → G heißt
auch eine Ein-Parameter-Untergruppe von G, deshalb der Name des Satzes.
Beispiel 15.4.3. II.6.9.11 bestimmt insbesondere die Ein-Parameter-Untergruppen
der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums.
Beispiel 15.4.4. Die Abbildung
R → GL(n, R)
t ↦→ exp(tA) = 1 + tA + t2A2 + . . .
2!
ist die Ein-Parameter-Untergruppe mit Geschwindigkeitsvektor A zum Zeitpunkt
t = 0, für alle A ∈ M(n × n, R) = Te GL(n, R). Analoges gilt für
GL(n, C) und GL(n, H).
Beispiel 15.4.5. Der Tangentialraum an S1 am neutralen Element 1 ist die
imaginäre Achse, T1 S1 = R i . Die Ein-Parameter-Untergruppen der S1 sind
die Abbildungen R → S1 , t ↦→ exp(a i t) mit a ∈ R. Ganz genauso geht es mit
der Gruppe S3 . Wir haben als Ein-Parameter-Untergruppen die Abbildungen
R → S 3
t ↦→ exp(tq)
für q rein imaginär, also q = −q. In der Tat folgt aus q = −q schon
exp(tq) 2 = exp(tq) · exp(tq)
= exp(tq) · exp(tq)
= exp(tq) exp(−tq)
= 1