Analysis

820 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
beschrieben und durch die Rekursion (l+1)Pl+1 = (2l+1)zPl−Pl−1 berechnet
werden, und ihre Quadratnorm ergibt sich aus den Formeln
〈Pk, Pl〉 = 4π
2l + 1 δk,l
die der Leser zur Übung selbst prüfen mag. Die ersten Legendre-Polynome
sind P0 = 1, P1 = z, P2 = (3z2 − 1)/2. Ausführliche Tafelwerke findet man
in Bibliotheken und im Netz.
2.5.8. In der Liealgebra der räumlichen Drehgruppe haben wir in 1.5.8 eine
Basis E1, E2, E3 ausgezeichnet, deren Kommutatoren durch [E1, E2] = E3
und die beiden durch zyklische Vertauschung der Indizes entstehenden Formeln
gegeben werden. In der komplexifizierten Liealgebra so(3)C liefern dann
die Ausdrücke h = 2iE3, e = E2 − iE1 und f = −E2 − iE1 eine Basis, in
der die Klammern die Form [h, e] = 2e, [h, f] = −2f, [e, f] = h haben. Nach
2.2.18 wirkt E3 als der Differentialoperator y∂x − x∂y und annulliert insbesondere
alle Polynome, die nur von z abhängen. Wir erhalten also in L 2 (S2 )
ein Orthogonalsystem mit dichtem Erzeugnis, wenn wir zu den Legendre-
Polynomen Pl noch alle emPl und f mPl für 0 < m ≤ l dazunehmen, und
normieren wir alle diese Funktionen auf die Länge Eins, indem wir sie durch
ihre Norm teilen, so erhalten wir eine Hilbertbasis L 2 (S2 ) bestehend aus den
sogenannten Kugelfunktionen
⎧
⎪⎨
e
Yl,m :=
⎪⎩
mPl/emPl 0 < m ≤ l;
Pl/Pl m = 0;
f −m Pl/f −m Pl 0 > m ≥ −l.
Um zu einer expliziteren Beschreibung zu kommen, bemerken wir, daß nach
2.2.18 unser e auf komplexwertigen Polynomen wirkt wie der Differentialoperator
z(−i∂y − ∂x) + (x + iy)∂z. Dann prüfen wir (i∂y + ∂x)(x + iy) = 0 und
erhalten folglich emPl = (x + iy) m∂m z Pl. Ähnlich ergibt sich auch die Formel
f mPl = (−(x−iy)) m∂m z Pl. In Kugelkoordinaten (cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ)
nach IV.3.2.11 haben wir x + iy = eiϕ sin ϑ. Bis auf einen Normierungsfaktor
werden unsere Kugelfunktionen also in Kugelkoordinaten gegeben durch
den Ausdruck eimϕ (sinm ϑ)P (m)
l (cos ϑ). Um den Normierungsfaktor auch noch
zu bestimmen, gehen wir von unserer Formel für die Norm eines Legendre-
Polynoms aus, die schon einmal
2l + 1
Yl,0 =
4π Pl(cos ϑ)
liefert. Nun zeigen die Formeln in 2.4.18, daß das Anwenden von e auf ˜ Yl,m
die Norm um den Faktor (l + m + 1)(l − m) ändert, wohingegen das Anwenden
von f auf ˜ Yl,m die Norm um den Faktor (l − m + 1)(l + m) ändert.