Analysis

136 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Satz 2.6.8 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion). Die Exponentialfunktion
ist ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe
der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen
reellen Zahlen. In Formeln ausgedrückt gilt für alle x, y ∈ R also
exp(x) = 0 = exp(y) und
exp(x + y) = exp(x) exp(y)
2.6.9. Stellen wir uns exp(x) vor als das Vermögen, daß in x Jahren aus einem
Euro entsteht bei kontinuierlicher Verzinsung mit 100%, so erhalten wir offensichtlich
gleichviel, ob wir unser Vermögen exp(x) nach x Jahren gleich wieder
für y Jahre anlegen, oder ob wir unseren Euro gleich von Anfang an x+y Jahre
arbeiten lassen. Das ist die Bedeutung der Funktionalgleichung. In 3.3.28
werden Sie zeigen, daß die Gruppenhomomorphismen ϕ : R → R × mit der
Eigenschaft x < y ⇒ ϕ(x) < ϕ(y) genau die Abbildungen ϕ(x) = exp(ax)
sind mit a > 0. In 3.2.11 werden wir zeigen, daß die Exponentialfunktion sogar
einen Isomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen
und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen liefert.
Ergänzung 2.6.10. Der gleich folgende Beweis der Funktionalgleichung gefällt
mir nicht besonders. Ein anderer aber in seiner Weise auch etwas verwickelter
Beweis wird in 2.6.17 vorgestellt. Ein mehr konzeptueller Zugang zur
Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung wird in 4.6.10 und 4.6.11
skizziert. Er benötigt jedoch Hilfsmittel, die uns hier noch nicht zur Verfügung
stehen, und er läßt auch nicht so einfach auf den Fall von Matrizen zu
verallgemeinern, der für uns bei der Diskussion von Sinus und Cosinus eine
wesentliche Rolle spielen wird. Wir schicken dem eigentlichen Beweis einige
allgemeine Betrachtungen voraus.
Satz 2.6.11 (Produkt von Reihen). Sind ∞
i=0 ai und ∞
j=0 bj absolut
konvergente Reihen, so konvergiert auch die Summe der Produkte aibj für
(i, j) ∈ N × N im Sinne von 2.5.24 und es gilt
(i,j)∈N×N
aibj =
∞
i=0
ai
∞
Beweis. Es reicht zu zeigen, daß für irgendeine Bijektion w : N → N × N,
k ↦→ (u(k), v(k)) die Reihe ∞ k=0 au(k)bv(k) absolut konvergiert und daß gilt
∞
∞
au(k)bv(k) =
∞
k=0
i=0
ai
j=0
j=0
bj
bj