Analysis

326 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
−bγ1 −aγ2 induziert, das in Matrixschreibweise die Gestalt ˙γ = Aγ annimmt
mit der Matrix
0
A =
−b
1
−a
Teil 2 folgt damit aus II.7.4.13. Für Teil 3 müssen wir folglich nur prüfen, daß
die beiden angegebenen Funktionen in der Tat linear unabhängige Lösungen
sind. Das kann dem Leser überlassen bleiben.
2.1.4. Statt in Teil 3 mögliche Lösungen einfach zu erraten, hätten wir uns
auch daran erinnern können, daß ja nach II.7.4.9 jede Lösung von der Form
x(t) = γ1(t) = pr 1(exp(tA)c)
sein muß für c = (x(0), ˙x(0)). Das charakteristische Polynom unserer Matrix
A ist aber nun gerade X2 +aX +b. Hat es zwei verschiedene reelle Nullstellen
λ, µ und bilden wir eine Matrix P mit Eigenvektoren zu λ und µ als Spalten,
so gilt A = P diag(λ, µ)P −1 und exp(tA) = P diag(eλt , e µt )P −1 und wir
erkennen auf Anhieb, daß jede Lösung eine Linearkombination der Gestalt
x(t) = α eλt +β e µt sein muß. Im Fall einer doppelten reellen Nullstelle finden
wir ähnlich ein P mit
und II.7.5.24 liefert
u t
exp = exp
0 u
u 0
exp
0 u
λ 1
A = P P
0 λ
−1
0 t
=
0 0
e u 0
0 e u
u 1 t e t e
=
0 1
u
0 eu
womit sich die allgemeine Lösung ergibt als eine Linearkombination der Gestalt
α e λt +βt e λt .
2.1.5. Im Fall der gedämpften Schwingung hat unser Polynom X2 + aX + b
die beiden Nullstellen
− a
2 ±
a2 − b
4
Bei hinreichend großer Dämpfung a2 /4 ≥ b erhalten wir reelle nichtpositive
Lösungen und unser Massepunkt kehrt mit höchstens einmaligem Überschwingen
zum Ruhezustand zurück. Im Fall kleiner Dämpfung a2 /4 < b hat
unser Polynom dahingegen keine reellen Nullstellen mehr und stattdessen die
beiden komplexen Nullstellen ± i ω − a/2 mit ω = b − a2 /4 > 0. Um hier
weiterzukommen verallgemeinern wir zunächst einmal alles bisher Gesagte
ins Komplexe.
Proposition 2.1.6 (Lösung der Schwingungsgleichung). Seien komplexe
Zahlen a, b ∈ C gegeben.