Analysis

662 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
2.1.7. Bezeichne Cb(D) den Raum der stetigen beschränkten komplexwertigen
Funktionen auf einem topologischen Raum D. Bezeichnet F : L 1 (R n ) →
Cb(R n ) die Fouriertransformation auf dem Schwartzraum und τa die Verschiebung
wie in 1.5.7, also (τaf)(x) = f(x − a), so liefert die Proposition 2.1.6
uns damit zwei kommutative Diagramme
L 1 (R n )
τb
F
Cb(Rn )
e− i b·y
L 1 (R n )
ei a·x
F
Cb(Rn )
L1 (Rn ) F
Cb(Rn ) L1 (Rn ) F
Cb(Rn )
Steht hier neben einem vertikalen Pfeil eine Funktion, so ist die durch Multiplikation
mit besagter Funktion gegebene Abbildung gemeint.
Ergänzende Übung 2.1.8. Wir betrachten in dieser Übung der Einfachkeit
halber nur Funktionen auf der reellen Zahlengeraden. Man zeige: Die Fouriertransformierte
einer geraden Funktion ist gerade; die Fouriertransformierte
einer ungeraden Funktion ist ungerade. Die Fouriertransformierte einer
geraden reellwertigen Funktion ist reellwertig; die Fouriertransformierte einer
ungeraden reellwertigen Funktion nimmt nur rein imaginäre Werte an.
Schreiben wir eine integrierbare Funktion f als Summe f = g + u ihres geraden
und ihres ungeraden Anteils, so gilt g ∧ (y) = (2π) −1 f(x) cos(xy) dx
und i u ∧ (y) = (2π) −1 f(x) sin(xy) dx. Diese beiden Integrale, aufgefaßt als
Funktionen von y, sind auch bekannt als die Cosinustransformation und
die Sinustransformation von f. Sie haben den Vorteil, reelle Funktionen
wieder zu reellen Funktionen zu machen, und ihre diskreten Analoga sind
von großer technischer Bedeutung.
Definition 2.1.9. Der Schwartzraum S = S(R n ) ist der Raum aller glatten
Funktionen f : R n → C derart, daß für alle Multiindizes α, β ∈ N n die
Funktion x α ∂ β f beschränkt ist. Hier verwenden wir die Multiindexschreibweise
aus IV.2.2.3. Im Fall einer Veränderlichen bedeutet unsere Forderung
also in Worten, daß alle Ableitungen unserer Funktion multipliziert mit beliebigen
Polynomfunktionen beschränkt bleiben.
2.1.10. Im Schwartzraum liegen insbesondere alle glatten Funktionen mit
kompaktem Träger. Offensichtlich ist der Schwartzraum stabil unter Multiplikationen
mit beliebigen x α und unter allen partiellen Ableitungen ∂ β .
Offensichtlich sind alle Funktionen des Schwartzraums integrierbar.
Übung 2.1.11. Die Funktion x ↦→ e −x2
τa
liegt im Schwartzraum.
Lemma 2.1.12. Die Fouriertransformation führt den Schwartzraum S(R).
in sich selber über.