Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 993
7.5.3. Anschaulich gesprochen schließen also je zwei Wände eines Alkoven einer
affinen euklidischen Spiegelungsgruppe besagten Alkoven “in einem spitzen
Winkel ein”.
Beweis. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit unsere Spiegelungsgruppe
erzeugt von den orthogonalen Spiegelungen an besagten Wänden H und L
und seien α und β Vektoren, die auf diesen Wänden senkrecht stehen und in
Richtung unseres Alkoven zeigen. In Formeln behauptet unser Lemma dann
(α, β) ≤ 0. Sind unsere Wände parallel, so ist die Behauptung eh klar. Sonst
können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß unser affiner
euklidischer Raum ein euklidischer Vektorraum ist und beide Spiegelungen
linear. Sicher finden wir nun v ∈ H mit (β, v) < 0, also (β, sLv) > 0. Aus
(α, β) > 0 folgte
(α, sLv) = (sLα, v) =
α −
2(α, β)
β, v > 0
(β, β)
und damit läge sLv gleichzeitig auf der Spiegelebene sLH und in unserem
Alkoven. Das kann aber nicht sein, also gilt (α, β) ≤ 0.
7.5.4. Dieses Lemma wäre auch ein natürlicher erster Schritt zur Klassifikation
derjenigen Spiegelungsgruppen, die von zwei Spiegelungen erzeugt werden.
Proposition 7.5.5. Wählen wir für jede Wand eines festen Alkoven einer
endlichen linearen Spiegelungsgruppe eine lineare Gleichung, so sind diese
Gleichungen linear unabhängig als Elemente des Dualraums.
Beweis. Wir wählen zunächst einmal ein invariantes Skalarprodukt. Seien
nun H1, . . . , Hn die Wände unseres Alkoven und seien αi ∈ V auf Hi senkrechte
Vektoren, die jeweils auf derselben Seite der Hyperebene Hi liegen wie
unser Alkoven. Es reicht zu zeigen, daß die αi linear unabhängig sind. Nach
7.5.2 schließen diese Vektoren jedoch paarweise stumpfe Winkel ein, in Formeln
(αi, αj) ≤ 0 falls i = j, und wählen wir γ ∈ A, so gilt (αi, γ) > 0 für
alle i. Die lineare Unabhängigkeit der αi folgt damit aus dem anschließenden
Lemma 7.5.6.
Lemma 7.5.6. Liegen Vektoren eines euklidischen Vektorraums alle in demselben
offenen Halbraum zu einer Hyperebene durch den Nullpunkt und schließen
sie paarweise stumpfe Winkel ein, so sind sie linear unabhängig.
7.5.7. Schließen insbesondere (n + 1) Vektoren eines n-dimensionalen euklidischen
Vektorraums paarweise stumpfe Winkel ein, so können sie nicht alle
in demselben offenen Halbraum zu einer Hyperebene durch den Nullpunkt
liegen.