Analysis

996 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir von einer endlichen
Familie von Vektoren α1, . . . , αn ausgehen. Unsere Forderungen sagen
in Formeln, daß es einen Vektor γ gibt mit (αi, γ) > 0 für alle i und daß gilt
(αi, αj) ≤ 0 für i = j. Sei nun n i=1 ciαi = 0 eine verschwindende Linearkombination
der αi. Es folgt
ciαi =
−ciαi
i∈I
mit I = {i | ci ≥ 0} und J = {i | ci < 0}. Das Skalarprodukt der linken mit
der rechten Seite der Gleichung ist nichtpositiv, da unsere Vektoren paarweise
stumpfe Winkel einschließen. Also steht auf beiden Seiten der Gleichung der
Nullvektor. Wir bilden nun unabhängig das Skalarprodukt beider Seiten mit
γ und folgern, daß alle ci verschwinden.
7.6 Coxetergraphen und Klassifikation
Definition 7.6.1. Sei E ein affiner Raum über einem angeordneten Körper k
und W ⊂ Aut E eine affine Spiegelungsgruppe. Sei A ein Alkoven und S ⊂ W
die Menge der Spiegelungen an den Wänden von A. Wir definieren zu diesen
Daten eine symmetrische S ×S-Matrix m : S ×S → N∪{∞}, die sogenannte
Coxetermatrix unserer Spiegelungsgruppe, durch die Vorschrift, daß der
Matrixeintrag in Zeile s und Spalte t die Ordnung von st sein soll, in Formeln
i∈J
ms,t = m(s, t) = ord(st)
7.6.2. Auf der Diagonalen unserer Matrix stehen natürlich nur Einsen und
außerhalb sind alle Einträge ≥ 2. Unsere Matrix ist unabhänig von der Wahl
des Alkoven A. Etwas formaler könnten wir in A × H die Teilmenge S aller
Paare (A, H) betrachten, bei denen die Spiegelebene H eine Wand des
Alkoven A ist, für S den Bahnenraum S = W \S nehmen, und in offensichtlicher
Weise eine Matrix m : S × S → N ∪ {∞} erklären, die dann in der
Tat von keinerlei Wahlen mehr abhängt. Gegeben eine Menge S verstehen wir
ganz allgemein unter einer“Coxetermatrix mit durch S indizierten Zeilen und
Spalten” eine Abbildung m : S ×S → N∪{∞} mit m(s, t) = m(t, s) ∀s, t ∈ S
und m(s, s) = 1 ∀s ∈ S.
7.6.3. Die Coxetermatrizen der affinen Spiegelungsgruppen haben typisch nur
sehr wenige von Zwei verschiedene Einträge und fast keine Einträge > 3. Weiter
sind die Einträge auf der Diagonalen eh bekannt. Besonders übersichtlich
stellt man die in einer Coxetermatrix enthaltene Information deshalb oft in
der Form des sogenannten Coxetergraphen dar: Man malt einen dicken
Punkt, genannt Knoten, für jedes Element von S, einen Strich, genannt