Analysis

878 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ebenso haben wir unter denselben Vorausetzungen auch die Verwandtschaft
von Vektorfeldern φ : gA ❀ fB.
4.5.5. Will man ein Vektorfeld A auf einer Mannigfaltigkeit X explizit angeben,
so wird man einen Atlas wählen und für jede Karte ϕλ : Wλ → X
dasjenige Vektorfeld d i=1 ai∂i auf Wλ ⊂◦ Rd angeben, das ϕλ-verwandt ist zu
A. Hier sind die ai dann Funktionen ai : Wλ → R. Sind umgekehrt Vektorfelder
auf den Definitionsbereichen der Karten eines Atlas gegeben, so kommen
sie in dieser Weise von einem Vektorfeld auf unserer Mannigfaltigkeit her
genau dann, wenn für je zwei Karten ihre entsprechenden Einschränkungen
unter dem Kartenwechsel verwandt sind.
Beispiel 4.5.6. Die Kreislinie S 1 = {p ∈ R 2 | p2 = 1} kann überdeckt
werden durch die beiden Karten ϕ± : R → S 1 , deren Inverse man durch
stereographische Projektion ?? von den Polen (0, ±1) erklärt. Nach II.7.6.17
werden sie gegeben durch
ϕ±(x) =
2x − x2
, ±1
1 + x2 1 + x2
Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir die Koordinaten zur Karte ϕ+ nun
u. Der Kartenwechsel ergibt sich mit direkter Rechnung oder allgemeinen
Erkenntnissen zu Möbiustransformationen ?? und ?? als das Invertieren
ϕ+− : x ↦→ u −1
Ein Vektorfeld auf der Kreislinie anzugeben bedeutet damit, Funktionen
a−(x) und a+(u) auf ganz R so anzugeben, daß gilt ϕ+− : a−(x)∂x ❀ a+(u)∂u.
Erinnern wir schließlich IV.3.1.25, so läuft das hinaus auf die Identität
a−(u −1 )(−u 2 )∂u = a+(u)∂u
alias a+(u) = −u 2 a−(u −1 ) für alle u ∈ R\0. Ein stetiges Vektorfeld auf
der Sphäre anzugeben meint also, eine stetige Funktionen a− : R → R so
anzugeben, daß −u 2 a−(u −1 ) einen Grenzwert hat für u → 0, daß also vage
gesprochen a− nicht gar zu schlimm wächst für u → ∞.
Beispiel 4.5.7. Zur Abschreckung hier auch noch das Beispiel der Kugelschale
oder Sphäre S2 = {p ∈ R3 | p2 = 1}. Sie kann überdeckt werden durch
die beiden Karten ϕ± : R2 → S2 , deren Inverse man durch stereographische
Projektion ?? von den Polen (0, 0, ±1) erklärt. Nach II.7.6.17 werden sie
gegeben durch
2x
ϕ±(x, y) =
1 + x2 2y
,
+ y2 1 + x2 + y2 , ±1 − x2 − y2 1 + x2 + y2