Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 599
wo dxω : V → Alt k X das Differential im Sinne von 1.2.2 unserer Form
ω : A → Alt k X an einer Stelle x ∈ A meint. Wir nennen dω die äußere
Ableitung von ω. Den Unterschied zwischen dω und dω bringen wir nur
durch die Wahl der Schriftart zum Ausdruck. Eine Differentialform, deren
äußere Ableitung verschwindet, heißt geschlossen.
7.6.4. Um uns die äußere Ableitung dω zu veranschaulichen, erinnern wir
zunächst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir dann statt ω
lieber f nennen. Deren äußere Ableitung (df)x ist schlicht das Differential dxf
bei x und kann dadurch beschrieben werden, daß es jedem Richtungsvektor
v ∈ X die Zahl
1
(df)x(v) = lim (f(x + tv) − f(x))
t→0 t
zuordnet. Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds ω kann seine äußere
Ableitung (dω)x bei x analog dadurch beschrieben werden, daß sie jedem
geordneten Paar von Richtungsvektoren (v, w) ∈ X2 die Zahl
1
(dω)x(v, w) = lim
t→0 t2
ω
γ(x,tv,t w)
zuordnet mit der Notation γ(x, tv, tw) für den Weg, der einmal das Parallelogramm
mit einer Ecke x und Kantenvektoren tv und tw umläuft, oder
genauer, der stückweise linear läuft erst von x nach x + tv, dann weiter nach
x + tv + tw, von da nach x + tw, und dann wieder zurück nach x. Möglicherweise
haben Sie das bereits als Übung 3.6.8 gezeigt. Im allgemeinen Fall
einer k-Form ω schließlich haben wir
1
(dω)x(v0, . . . , vk) = lim
t→0 tk+1
ω
F (x,tv0,...,tvk)
wobei wir uns F, zumindest für v0, . . . , vk linear unabhängig, als die in geeigneter
Weise orientierte Oberfläche eines Parallelpipeds mit Ecke x und
Kantenvektoren tvi denken dürfen, über die wir dann unsere k-Form integrieren
können, wenn wir etwas Mut beweisen und beim Integrieren von den
Kanten einmal absehen. Es mag eine gute Übung sein, etwa für die zweite
Aussage auch einmal einen Beweis auszuschreiben.
Beispiel 7.6.5. Offensichtlich ist die Zuordnung ω ↦→ dω linear und für Nullformen
alias Funktionen f gilt df = df. Ist X ein endlichdimensionaler reeller
Raum, A ⊂ X halboffen, ω◦ ∈ Alt k X eine konstante k-Form und f : A → R
differenzierbar, so behaupten wir die Formel
d(fω◦) = df ∧ ω◦