Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1103
Beweis. Bezeichne N ⊂ B die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen
auf der Diagonale. Unsere Definition der induzierten Darstellungen liefert
offensichtliche abgeschlossene Einbettungen
ind G
B Cλ,ɛ ↩→ ind G
N C
Die Rechtswirkung von G = SL(2; R) auf der Zeilenmatrix e2 = (0, 1) induziert
andererseits nach 3.9.7 einen Homöomorphismus N\G ∼ → R 2 \ 0 mit
dem Raum der von Null verschiedenen Zeilenmatrizen und damit einen Isomorphismus
von Darstellungen
κ : C(R 2 \0) ∼ → ind G
N C
gegeben durch (κf)(g) = f(e2g). Das Urbild unserer Hauptserie unter diesem
Isomorphismus besteht gerade aus allen Funktionen f ∈ C(R2 \0) mit
(κf)(bg) = ρλ,ɛ(b)((κf)(g)) für alle b ∈ B alias
β ∗
f (0, 1)
0 β−1
g = |β| λ (sgn β) ɛ f((0, 1)g)
für alle β ∈ R × und g ∈ SL(2; R) alias
f(β −1 x, β −1 y) = |β| λ (sgn β) ɛ f(x, y)
für alle (x, y) ∈ R 2 \0 und β ∈ R × . Verwenden wir zusätzlich die Identifikation
R 2 ∼ → C, (x, y) ↦→ x + iy und notieren wie üblich z die Identität auf C und
betrachten K = SO(2), so liefert die Restriktion auf den Einheitskreis S 1 ⊂ C
auf den K-endlichen Vektoren für offensichtlich für alle λ Isomorphismen
(ind G
B Cλ,0)K
(ind G
B Cλ,1)K
∼
→ C[z 2 , z −2 ]
∼
→ zC[z 2 , z −2 ]
mit den geraden bzw. ungeraden trigonometrischen Polynomen, aufgefaßt
als Funktionen auf dem Einheitskreis. Das Urbild der Funktion z n auf der
Kreislinie ist dann offensichtlich die Funktionen vn,λ : z ↦→ |z| −λ (z/|z|) n auf
C\0. Die Wirkung eines Elements A der Lie-Algebra auf einem glatten Vektor
f ∈ C(R 2 \0) ist gegeben durch
(exp tA)f − f
Af = lim
t→0 t
In unserem Fall haben wir für jeden Punkt (x, y) ∈ R 2 \0 auch
(Af)(x, y) = lim
t→0
f((x, y)(exp tA)) − f(x, y)
t