Analysis

1250 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
3.13.11 (Zusammenhänge in trivialen Bündeln). Gegeben eine Mannigfaltigkeit
M und ein endlichdimensionaler R-Vektorraum L können wir auf
dem trivialen Bündel E = M × L einen Zusammenhang ∇ triv : S ∞ (E) →
S ∞ (T ∗ M ⊗ E) erklären durch die Vorschrift
(∇ triv η)p = dp(pr 2 ◦η)
wo (pr 2 ◦η) : M → L a priori ein Differential dp(pr 2 ◦η) : TpM → TL
hat, das wir aber als Element von T ∗ pM ⊗ L auffassen dürfen. Ein beliebiger
Zusammenhang auf M × L hat nach 3.13.10 also die Gestalt
∇ = ∇ triv + ω
für ω ∈ S ∞ (T ∗ M ⊗ End(L)) eine (End L)-wertige 1-Form auf M. Gehen wir
unsere Übersetzungen durch, so erkennen wir, daß die kovariante Ableitung
in Bezug auf diesen Zusammenhang gegeben wird durch die Formel
(∇ξη)p = dp(pr 2 ◦η) + (ωp(ξp))(ηp)
wo ωp(ξp) ∈ End(L) den durch Auswerten von ωp auf dem Vektor ξp gegebenen
Endomorphismus meint. Insbesondere hängt auch bei allgemeinen
Zusammenhängen (∇ξη)p nur vom Wert ξp des Vektorfelds ξ bei p ab und
wir können für jeden Tangentialvektor v ∈ TpX und jeden in einer offenen
Umgebung von p definierten glatten Schnitt η eines Bündels E mit Zusammenhang
ein Element der Faser ∇vη ∈ Ep erklären durch die Vorschrift, daß
für alle glatten Vektorfelder ξ mit ξp = v gilt
∇vη = (∇ξη)p
3.13.12 (Motivation für Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln).
Gegeben ein Vektorbündel mit einer Riemann’schen Metrik mag man sich
speziell für solche Zusammenhänge interessieren, bei denen die Parallelverschiebung
längs glatter Wege orthogonale Abbildungen liefert. Gegeben ein
komplexes Vektorbündel mag man sich speziell für solche Zusammenhänge
interessieren, bei denen die Parallelverschiebung längs glatter Wege komplexlineare
Abbildungen liefert. Um diese und viele weitere Situationen in einem
Aufwasch behandeln zu können, erklären wir nun allgemeiner Zusammenhänge
auf Hauptfaserbündeln.
3.13.13. Seien X eine glatte Mannigfaltigkeit und G eine Lie-Gruppe. Nach
VI.5.8.1 ist ein glattes G-Hauptfaserbündel auf X ein Paar (P, π) bestehend
aus einer Mannigfaltigkeit P mit einer glatten Rechtsoperation von G und
einer Projektion π : P → X derart, daß unsere Projektion G-äquivariant ist