Analysis

16. STEINBRUCH UND SCHROTTHALDE 1153
Definition 16.3.16. Wir betrachten die Kategorie K aller offenen Teilmengen
irgendwelcher (R n , C p ) mit n ∈ N und definieren den Differentialfunktor
d: K ∗ → ModR
(U, u) ↦→ R n falls U ⊂◦ R n
↓ f ↦→ ↓ duf
(V, v) ↦→ R m falls V ⊂◦ R m
Ein Tangentialraumfunktor T ist ein Paar (T, ϕ) bestehend aus einem
lokalen Funktor T : Mgf ∗ → ModR und einer Äquivalenz der Einschränkung
von T auf die Kategorie offener Teilmengen irgendwelcher R n mit dem
Differentialfunktor.
16.3.17. Nach 16.3.14 existieren solche Tangentialraumfunktoren und sind
im wesentlichen eindeutig, als da heißt: Zwischen je zwei Tangentialraum-
funktoren (T, ϕ) und (T ′ , ϕ ′ ) gibt es genau eine Äquivalenz η : T ∼ → T ′ mit
ϕ ′ ∼
◦η|K∗ = ϕ : T |K∗ → d. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solch einen Tan-
gentialraumfunktor explizit anzugeben, die auf mich alle etwas verkrampft
wirken.
16.4 Alter Beweis, wohl ganz Schrott
Alter Beweis von 3.5.2. Wir gehen in mehreren Schritten vor.
1. Ist X ein Hausdorffraum und f : [0, 1] → X eine stetige Injektion, so
induziert f nach 3.3.10 einen Homöomorphismus f : [0, 1] ∼ → f[0, 1] und
folglich auch Homöomorphismen f : Y ∼ → f(Y ) für beliebige Teilmengen Y ⊂
[0, 1]. Darüber hinaus ist f[0, 1] als Bild eines Kompaktums abgeschlossen.
2. Gegeben X Hausdorff’sch und f, g : [0, 1] → X stetig injektiv gilt
f[0, 1] ⊂ g[0, 1] ⇔ f(0, 1) ⊂ g(0, 1)
Die Richtung ⇐ folgt sofort aus der Stetigkeit. Für ⇒ bemerken wir, daß
nach unseren Voraussetzungen die Verknüpfung g −1 ◦ f : [0, 1] ↩→ [0, 1] eine
stetige Injektion ist und damit streng monoton sein muß.
3. Seien X ein Hausdorffraum und f, g : [0, 1] → X stetige Injektionen. Sind
die Bilder f(0, 1) und g(0, 1) des offenen Intervalls (0, 1) unter f und g offen
in X, so trifft jede Zusammenhangskomponente Z des Schnitts f[0, 1]∩g[0, 1]
die Menge der Bilder der Endpunkte {f(0), f(1), g(0), g(1)}. In der Tat wäre
sonst Z auch eine Zusammenhangskomponente des Schnitts f(0, 1) ∩ g(0, 1).
Dieser Schnitt ist jedoch homöomorph zu einer offenen Teilmenge von (0, 1),
mithin hätten wir Z ⊂◦ f(0, 1)∩g(0, 1) nach 1.4.8 und damit wäre Z offen in X