Analysis

1388 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
um den Rand des Rechtecks mit Ecken a, b, a + ih, b + ih für a < b in R
und h > 0. Ist unser Rechteck so groß, daß es alle Polstellen von f in der
oberen Halbebene umfaßt, so ist das Wegintegral um seinen Rand nach dem
Residuensatz genau die rechte Seite der behaupteten Formel. Die Integrale
über die drei Kanten ρ, λ, ω für “rechts, links und oben” außerhalb der reellen
Achse können wir jedoch abschätzen durch
f(z) e iz
dz
≤ sup h
z∈ρ |f(z)| e −t dt ≤ sup |f(z)|
z∈ρ
ρ
und analog auf der linken Kante, auf der oberen Kante dahingegen durch
f(z) e iz
dz
≤ (b − a) e−h sup |f(z)|
z∈ω
ω
Halten wir a fest und nehmen b = h und lassen
h nach Unendlich streben, so
r
ergibt sich die Existenz des Grenzwerts limr→∞ . Die Existenz des anderen
0
Grenzwerts zeigt man analog, und die behauptete Formel folgt, wenn wir
h = b = −a nehmen und das gegen Unendlich streben lassen.
Beispiel 2.3.11 (Integrale rationaler Funktionen mit allgemeiner Potenz).
Sei 0 < α < 1 und sei f eine rationale Funktion ohne Pole auf der
positiven reellen Achse, bei der der Grad des Nenners mindestens um zwei
größer ist als der Grad des Zählers und die in Null holomorph ist oder einen
Pol erster Ordnung hat. So existiert das Integral
∞
x α f(x) dx
0
nach II.4.5.5 und wir können seinen Wert wie folgt bestimmen: Wir wählen
einen Zweig des Logarithmus log auf der geschlitzten Halbebene log :
C\R≥0 → C so, daß limt↘0 log(x + it) für x ∈ R der übliche reelle Logarithmus
ist. Dann setzen wir zα = exp(α log z) und finden für den in nebenstehendem
Bild gezeigten Integrationsweg bei hinreichend kleinem Radius innen
und hinreichend großem Radius außen
z α f(z) dz = 2πi
Resz=ζ f(z)z α
Lassen wir nun den inneren Radius gegen Null streben und den äußeren
Radius gegen ∞, so streben die Integrale über die beiden Kreiswege gegen
Null wegen |z α | = |z| α . Das Integral über den oberen horizontalen Abschnitt
des im Bild gezeigten Integrationsweges strebt gegen das gesuchte Integral,
ζ=0
0