Analysis

1236 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
für eine und jede Parametrisierung mit γ ′ (τ) konstant und nicht Null.
Insbesondere nimmt unsere Krümmung also Werte in L ⊤ an, und das ist auch
geometrisch vernünftig: Der Kehrwert des Radius eines Schmiegekreises ist
eben eine invere Länge.
Proposition 3.11.4 (Krümmung einer Bahnkurve). Die Krümmung
der Bahnkurve eines Teilchensan einer Stelle hängt nur von seiner Geschwindigkeit
und Beschleunigung an der vorgegebenen Stelle ab und stimmt überein
mit der Länge der orthogonalen Projektion des Beschleunigungsvektors
auf die zum Geschwindigkeitsvektor senkrechte Hyperebene, geteilt durch das
Quadrat der absoluten Geschwindigkeit. Ist also in Formeln γ : I → Rn eine
Karte einer Kurve, so wird deren Krümmung gegeben durch
¨γ 2 − 〈 ˙γ, ¨γ〉 2 / ˙γ 2
κ =
˙γ 2
3.11.5. Man erinnere sich, daß gegeben Vektoren v, w in einem euklidischen
Vektorraum mit v = 0 die orthogonale Projektion p von w auf Rv gegeben
wird durch p = (〈v, w〉/v 2 )v. Für die orthogonale Projektion r von w auf
die zu Rv orthogonale Hyperebene gilt dann w = p + r und p steht senkrecht
auf r, in Formeln 〈p, r〉 = 0. Nach Pythagoras haben wir folglich
r 2 = w 2 − p 2 = w 2 − 〈v, w〉 2 /v 2
und das interpretiert den Zähler unserer Formel. Ist unser euklidischer Raum
dreidimensional und wählen wir darin eine Orientierung, so können wir die
Krümmung unserer Kurve auch mithilfe des Kreuzprodukts ?? ausdrücken
als ¨γ × ˙γ/ ˙γ 3 .
3.11.6. Es mag eine gute Idee sein, sich die Bedeutung der Formel ?? für
die Krümmung einer Bahnkurve an einigen Umparametrisierungen qualitativ
klarzumachen. Durchlaufen wir etwa unsere Kurve mit der doppelten Geschwindigkeit,
so erhalten wir die vierfache Beschleunigung, aber im Bruch
für die Krümmung ändert sich nichts. Fahren wir nicht mit konstanter Geschwindigkeit,
sondern “geben kräftig Gas, während wir durch unseren Punkt
fahren”, so ändert sich der Beschleunigungsvektor um einen an die Kurve tangentialen
Anteil und im Bruch für die Krümmung ändert sich wieder nichts.
Beweis. Natürlich finden wir auch eine Parametrisierung nach der Bogenlänge
¯γ : W → K mit demselben Bild ¯γ(W ) = γ(I). Wir notieren die jeweiligen
Parameter t ∈ I und τ ∈ W und kürzen die Ableitungen nach t beziehungsweise
τ ab als ˙γ(t) bzw. ¯γ ′ (τ) etc. Natürlich ist auch t eine Funktion von
τ und umgekehrt, so daß wir etwa haben t ′ = dt und ¯γ = γ ◦ t. Um die
dτ