Analysis

2. NAIVE MENGENLEHRE UND KOMBINATORIK 41
4. Das kartesische Produkt X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }, als
da heißt die Menge aller geordneten Paare. Es gilt also (x, y) = (x ′ , y ′ )
genau dann, wenn gilt x = x ′ und y = y ′ . Zum Beispiel haben wir
{1, 2} × {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}. Oft benutzt
man für das kartesische Produkt X × X einer Menge X mit sich selbst
die Abkürzung X × X = X 2 .
2.1.16. Die Verwendung des Kommas als Trenner ist hier insofern problematisch,
als (1, 2) nun zweierlei bedeuten kann: Zum einen ein Element des
kartesischen Produkts N × N, zum anderen auch den eingeklammerten Dezimalbruch
1,2. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu
erschließen. In diesem Text werden Dezimalbrüche nur selten vorkommen. In
Schulbüchern verwendet man für geordnete Paare meist die abweichende Notation
(x|y), um auch Paare von Dezimalbrüchen unmißverständlich notieren
zu können.
2.1.17. Wir werden in unserer naiven Mengenlehre die ersten drei Operationen
nur auf Teilmengen einer gemeinsamen Obermenge anwenden, die uns in
der einen oder anderen Weise bereits zur Verfügung steht. Die Potenzmenge
und das kartesische Produkt dahingegen benutzen wir, um darüber hinaus
neue Mengen zu erschaffen. Diese Konstruktionen erlauben es, im Rahmen
der Mengenlehre so etwas wie Abstraktionen zu bilden: Wenn wir uns etwa
die Menge T aller an mindestens einem Tag der Weltgeschichte lebenden
oder gelebt habenden Tiere als eine Menge im Cantor’schen Sinne denken,
so würden wir Konzepte wie “männlich” oder “Hund” oder “Fleischfresser”
formal als Teilmengen dieser Menge definieren, d.h. als Elemente von P(T ),
und das Konzept “ist Kind von” als eine Teilmenge des kartesischen Produkts
dieser Menge T mit sich selbst, also als ein Element von P(T × T ).
2.1.18. Für das Rechnen mit Mengen überlegt man sich die folgenden Regeln:
X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z
X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z
X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)
X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
X\(Y ∪ Z) = (X\Y ) ∩ (X\Z)
X\(Y ∩ Z) = (X\Y ) ∪ (X\Z)
X\(X\Y ) = X ∩ Y
Eine gute Anschauung für diese Regeln liefern die van-de-Ven-Diagramme,
wie sie die nebenstehenden Bilder zeigen. Die vorletzte und vorvorletzte Gleichung
faßt man auch unter der Bezeichnung de Morgan’sche Regeln zusammen.