Analysis

750 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Daraus folgern wir die Existenz und Eindeutigkeit der durch gestrichelte
Pfeile angedeuteten stetigen Ringhomomorphismen im Diagramm
C[X1, . . . , Xn]
C[x1, . . . , xn]
C(K)
B(H)
und haben so bereits das Anwenden einer stetigen Funktion auf einen selbstadjungierten
Operator verallgemeinert zum Anwenden einer stetigen Funktion
R n → C auf ein n-Tupel von paarweise kommutierenden selbstadjungierten
Operatoren. Wie beim Beweis von 3.2.14 im Anschluß an 3.4.14 folgern
wir, daß es für jeden Vektor v ∈ H genau ein Paar (µ, ϕ) gibt bestehend aus
einem kompakt getragenen Borelmaß µ auf R n und einer unitären Einbettung
ϕ : L 2 (R n ; µ) ↩→ H mit ϕ(1) = v und ϕ ◦ (xi·) = Ti ◦ ϕ für 1 ≤ i ≤ n.
Wie in 3.7.2 folgende zeigen wir dann, daß es für f : R n → C meßbar und beschränkt
genau einen Operator f(T1, . . . , Tn) gibt mit f(T1, . . . , Tn)v = ϕ(f)
für ϕ die kanonische Einbettung zu v wie eben, und daß wir so eine Teilung
der Identität mit den gewünschten Eigenschaften erhalten. Der Rest des Beweises
ist vollständig analog zum Beweis des Spektralsatzes aus 3.7 und mag
dem Leser überlassen bleiben.
Korollar 3.10.4 (Spektralsatz für unitäre Operatoren). Gegeben ein
Hilbertraum H haben wir eine Bijektion
1 Auf der Kreislinie S definierte ∼→ Unitäre Automorphismen
Teilungen Φ der Identität von H
des Hilbertraums H
Φ ↦→
S1 zΦ〈z〉
Beweis. Nach 3.6.18 liefert für jede Teilung der Identität auf der Kreislinie
besagtes Integral einen unitären Automorphismus unseres Hilbertraums. Daß
diese Konstruktion eine Bijektion liefert, folgt mit mit 3.3.19 aus dem etwas
allgemeineren Fall 3.10.6 sogenannter “normaler” Operatoren.
Definition 3.10.5. Ein Operator auf einem Hilbertraum heißt normal genau
dann, wenn er mit seinem Adjungierten vertauscht. In Formeln ist also
ein Operator N ∈ B(H) normal genau dann, wenn gilt NN ∗ = N ∗ N.
Insbesondere ist jeder selbstadjungierte und jeder unitäre Operator normal.
Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Hilbertraums ist normal genau
dann, wenn er diagonalisierbar ist mit paarweise aufeinander senkrecht
stehenden Eigenräumen, und für jedes projektorwertige Maß Φ auf einem
Meßraum und jede beschränkte meßbare komplexwertige Funktion f auf besagtem
Raum ist fΦ normal.