Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 959
X ∈ Lie T , auf dem das Differential keiner Wurzel verschwindet. Für jeden
Punkt X ∈ Lie T , der vom Differential keiner Wurzel annulliert wird, gilt aber
LieC ZG(X) = LieC T und damit Lie ZG(X) = Lie T . Weil nun nach 6.4.28
der Zentralisator eines Elements der Liealgebra stets zusammmenhängend
ist, folgt ZG(X) = T und unser Element der Weylgruppe war die Identität.
Nun zeigen wir die Zweite unserer technischen Aussagen. Bezeichen W ′ ⊂ W
die von den Wurzelspiegelungen erzeugte Untergruppe. Wir wählen wieder
ein W -invariantes Skalarprodukt auf Lie T und finden wir für beliebige Vektoren
v, w ∈ Lie T ein x ∈ W ′ derart, daß der Abstand v −xw kleinstmöglich
wird. Dann können v und xw durch keine Spiegelebene einer Wurzelspiegelung
mehr getrennt werden, da ja sonst aus elementargeometrischen Gründen
für sα die Spiegelung an besagter Spiegelebene v und sαxw noch näher
aneinander wären. Also liegen v und xw für jede Spiegelebene einer Wurzelspiegelung
in demselben abgeschlossenen Halbraum und damit im Abschluß
desselben Alkoven.
Lemma 6.4.28. In einer zusammenhängenden kompakten Liegruppe ist der
Zentralisator eines Elements der Liealgebra stets zusammenhängend.
Beweis. Der Zentralisator eines Elements der Liealgebra fällt zusammen mit
dem Zentralisator der Gerade durch besagtes Element, dann auch mit dem
Zentralisator ihres Bildes unter der Exponentialabbildung, und dann schließlich
auch mit dem Zentralisator des Abschlusses dieses Bildes. Dieser Abschluß
aber ist eine kompakte abelsche Liegruppe, als da heißt ein Torus,
und wir können 6.4.15 anwenden.
6.4.29. Außer den Spiegelungen zu Wurzeln operieren keine weiteren Elemente
der Weylgruppe einer kompakten zusammenhängenden Liegruppe als
Gitterspiegelungen auf dem Charaktergitter des zugehörigen maximalen Torus.
Das folgt mit 6.4.30 leicht aus 6.4.26.
6.4.30. Gegeben eine abelsche kompakte Liegruppe T liefert das Ableiten
eine Abbildung
X(T ) → HomR(Lie T, i R)
α ↦→ dα
die im Fall eines Torus sogar injektiv ist. Hierbei fassen wir den Charakter
α als Gruppenhomomorphismus α : T → S 1 auf und S 1 als Untergruppe
S 1 ⊂ C × mit Liealgebra Lie S 1 = i R ⊂ Lie C × = C. Man sieht nun leicht
ein, daß diese Einbettung einen Isomorphismus von reellen Vektorräumen
HomZ(X(T ), i R) ∼ → Lie T