Analysis

664 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Ist |y| sehr groß, so beschreibt x ↦→ e i xy eine Funktion, die sehr schnell oszilliert.
Ändert sich f nicht ganz so schnell, so wird sich beim Integrieren von
f(x) e i xy sehr viel wegheben, so daß das Integral sehr klein wird.
Lemma 2.1.15 (Fouriertransformierte der Glockenkurve). Die Gauß’sche
Glockenkurve ist ihre eigene Fouriertransformierte, in Formeln gilt für die
Funktion g(x) = e −x2 /2 also g ∧ (y) = e −y 2 /2 .
Beweis. Natürlich erfüllt g die Differentialgleichung
g ′ (x) = −xg(x)
Auch ohne den Eindeutigkeitssatz über Lösungen von Differentialgleichungen
zu bemühen, kann man durch Ableiten von f(x)/(e −x2 /2 ) zeigen, daß diese
Differentialgleichung bis auf konstante Faktoren keine anderen Lösungen f
hat. Nach Übung 2.1.11 gehört g zum Schwartzraum, durch Fouriertransformation
unserer Differentialgleichung ergibt sich damit
i yg ∧ (y) = − i g ∧′ (y)
und wir folgern, daß die Fouriertransformierte von g(x) = e −x2 /2 die Gestalt
g ∧ (y) = c e −y2 /2 haben muß mit c ∈ C. Diese Konstante c schließlich ergibt
sich mit IV.6.8.13 zu
c = g ∧ (0) = 1
√
2π
e −x2 /2 dx = 1
2.1.16. Ein mehr konzeptionelle Alternative zur Rechnung mithilfe der Formel
für die Fläche unter der Gauss’schen Glockenkurve IV.6.8.13 bietet die
Poisson’sche Summationsformel 2.1.35, der man direkt und ohne erst schwierige
Integrale zu lösen entnehmen kann, daß die fragliche Konstante c den
Wert Eins haben muß.
Übung 2.1.17. Gegeben integrierbare Funktionen f1, . . . , fn einer reellen Veränderlichen
ist die Fouriertransformierte von f(x) = f1(x1) . . . fn(xn) das
Produkt f ∧ (y) = f ∧ 1 (y1) . . . f ∧ n (yn). Speziell ist die Funktion e −x·x/2 auf R n
ihre eigene Fouriertransformierte.
Proposition 2.1.18 (Inversionsformel im Schwartzraum). Gegeben eine
Funktion aus dem Schwartzraum f ∈ S(R n ) gilt für die Fouriertransformierte
ihrer Fouriertransformierten stets
(f ∧ ) ∧ (x) = f(−x)